Soient \(H,K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Pour \(x,y \in G\), on pose : \[x \sim y \iff \exists\ h \in H,\ \exists\ k \in K \text{ tq } y = hxk.\]
1
Montrer que c’est une relation d’équivalence.
2
Pour \(x \in G\), soit \(G_x = \{(h,k) \in H\times K\) tq \(hxk^{-1} = x\}\). Montrer que \(G_x\) est un sous-groupe de \(H\times K\).
3
Si \(H\) et \(K\) sont finis, montrer que chaque classe d’équivalence est finie de cardinal divisant \(\mathrm{Card}\,(H)\mathrm{Card}\,(K)\).