L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 2995

Soient H,KH,K deux sous-groupes d’un groupe GG. Pour x,y∈Gx,y \in G, on pose : x∼y  ⟺  ∃ h∈H, ∃ k∈K tq y=hxk.x \sim y \iff \exists\ h \in H,\ \exists\ k \in K \text{ tq } y = hxk.

1

Montrer que c’est une relation d’équivalence.

2

Pour x∈Gx \in G, soit Gx={(h,k)∈H×KG_x = \{(h,k) \in H\times K tq hxk−1=x}hxk^{-1} = x\}. Montrer que GxG_x est un sous-groupe de H×KH\times K.

3

Si HH et KK sont finis, montrer que chaque classe d’équivalence est finie de cardinal divisant Card (H)Card (K)\mathrm{Card}\,(H)\mathrm{Card}\,(K).

Exercice Yvmb

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