1
Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut \((X-1)^9\). On considère le code ternaire \(C\) de longueur \(9\) associé au polynôme \(g=(X-1)^5\)
2
Déterminer l’alphabet, la longueur des mots, la dimension du code, le nombre de mots de code. Le code est-il cyclique ?
3
Donner une matrice génératrice de \(C\).
4
Déterminer un élément de poids \(3\) du code.
5
Déterminer une matrice de contrôle \(H\) de ce code.
6
Déterminer la distance de ce code. Combien d’erreurs ce code peut-il détecter ? combien d’erreurs peut-il corriger ?
7
On a reçu le mot \(r=121102210\). Calculer son image par \(H\). Le mot \(r\) est-il un mot du code ?
8
Corriger le mot \(r\) en supposant qu’il n’y a eu au plus qu’une seule erreur de transmission.