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Montrer que le polynôme $X^9-1$ de $\mathbb{F}_3[X]$ vaut $(X-1)^9$. On considère le code ternaire $C$ de longueur $9$ associé au polynôme $g=(X-1)^5$

Déterminer l’alphabet, la longueur des mots, la dimension du code, le nombre de mots de code. Le code est-il cyclique ?

Donner une matrice génératrice de $C$.

Déterminer un élément de poids $3$ du code.

Déterminer une matrice de contrôle $H$ de ce code.

Déterminer la distance de ce code. Combien d’erreurs ce code peut-il détecter ? combien d’erreurs peut-il corriger ?

On a reçu le mot $r=121102210$. Calculer son image par $H$. Le mot $r$ est-il un mot du code ?

Corriger le mot $r$ en supposant qu’il n’y a eu au plus qu’une seule erreur de transmission.