Soit \((G,\times)\) un groupe. Pour \(x\) élément de \(G\), on considère \(\begin{array}[t]{cccc} f_x~:&G&\rightarrow&G\\ &y&\mapsto&xy \end{array}\). \(f_x\) est une application de \(G\) vers \(G\) et de plus, clairement \(f_x\circ f_{x^{-1}}=f_{x^{-1}}\circ f_x=Id_G\). Donc, pour tout élément \(x\) de \(G\), \(f_x\) est une permutation de \(G\).

Soit alors \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&(G,\times)&\rightarrow&(S_G,\circ)\\ &x&\mapsto&f_x \end{array}\). D’après ce qui précède, \(\varphi\) est une application. De plus, \(\varphi\) est de plus un morphisme de groupes. En effet, pour \((x,x',y)\in G^3\), on a :

\[\varphi((xx'))(y)=f_{xx'}(y)=xx'y=f_x(f_x'(y)) = f_x\circ f_{x'}(y)=(\varphi(x)\circ\varphi(x'))(y),\]

et donc \(\forall(x,x')\in G^2,\;\varphi(xx')=\varphi(x)o\varphi(x')\).

Enfin, \(\varphi\) est injectif car, pour \(x\) élément de \(G\) :

\[\varphi(x)= Id\Rightarrow\forall y\in G,\;xy=y\Rightarrow xe=e\Rightarrow x=e.\]

Donc, \(\mbox{Ker}\varphi=\{e\}\), et \(\varphi\) est injectif.

\(\varphi\) est ainsi un isomorphisme de groupes de \((G,\times)\) sur \((f(G),\circ)\) qui est un sous groupe de \((S_G,\circ)\). \((G,\times)\) est bien isomorphe à un sous groupe de \((S_G,\circ)\).

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