Soit $(G,\times)$ un groupe. Pour $x$ élément de $G$ , on considère $\begin{array}{cccc} f_x~:&G&\rightarrow&G\\ &y&\mapsto&xy \end{array}$ . $f_x$ est une application de $G$ vers $G$ et de plus, clairement $f_x\circ f_{x^{-1}}=f_{x^{-1}}\circ f_x=Id_G$ . Donc, pour tout élément $x$ de $G$ , $f_x$ est une permutation de $G$ .

Soit alors $\begin{array}{cccc} \varphi~:&(G,\times)&\rightarrow&(S_G,\circ)\\ &x&\mapsto&f_x \end{array}$ . D’après ce qui précède, $\varphi$ est une application. De plus, $\varphi$ est de plus un morphisme de groupes. En effet, pour $(x,x',y)\in G^3$ , on a :

$\varphi((xx'))(y)=f_{xx'}(y)=xx'y=f_x(f_x'(y)) = f_x\circ f_{x'}(y)=(\varphi(x)\circ\varphi(x'))(y),$

et donc $\forall(x,x')\in G^2,\;\varphi(xx')=\varphi(x)o\varphi(x')$ .

Enfin, $\varphi$ est injectif car, pour $x$ élément de $G$ :

$\varphi(x)= Id\Rightarrow\forall y\in G,\;xy=y\Rightarrow xe=e\Rightarrow x=e.$

Donc, $\mbox{Ker}\varphi=\{e\}$ , et $\varphi$ est injectif.

$\varphi$ est ainsi un isomorphisme de groupes de $(G,\times)$ sur $(f(G),\circ)$ qui est un sous groupe de $(S_G,\circ)$ . $(G,\times)$ est bien isomorphe à un sous groupe de $(S_G,\circ)$ .

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