Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
1
Établir une relation de récurrence entre \(I_{n}\) et \(I_{n + 2}\).
2
En déduire \(I_{2p}\) et \(I_{2p + 1}\).
3
Montrer que \((I_{n})_{n \in \Nn}\) est décroissante et strictement positive.
4
En déduire que \(I_{n} \sim I_{n + 1}\).
5
Calculer \(nI_{n}I_{n + 1}\).
6
Donner alors un équivalent simple de \(I_{n}\).