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Soit $I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt$ .

Établir une relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n + 2}$ .

En déduire $I_{2p}$ et $I_{2p + 1}$ .

Montrer que $(I_{n})_{n \in \Nn}$ est décroissante et strictement positive.

En déduire que $I_{n} \sim I_{n + 1}$ .

Calculer $nI_{n}I_{n + 1}$ .

Donner alors un équivalent simple de $I_{n}$ .