$\int \frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx$

Le dénominateur $u=x^2+x+1$ est irréductible, la fraction est donc déjà décomposée en éléments simples. On fait apparaître artificiellement une fraction du type $\frac {u'}{u}$ qui s’intégrera à l’aide du logarithme :

$\frac{x-1}{x^2+x+1} = \frac 12 \frac{2x+1}{x^2+x+1} - \frac 32 \frac{1}{x^2+x+1}$ Chacune de ces fractions s’intègre, la première est du type $\frac {u'}{u}$ dont une primitive sera $\ln |u|$ , la deuxième sera du type $\frac{1}{1+v^2}$ dont une primitive est $\arctan v$ .

En détails cela donne : $\begin{align*} \int \frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx &= \int \frac 12 \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx - \frac 32\int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx \\ &= \frac 12 \big[ \ln |x^2+x+1| \big] - \frac 32\int \frac{1}{\frac 34} \frac{1}{1+ \left( \frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \right)^2} \, dx \\ &= \frac 12 \big[ \ln|x^2+x+1| \big] - 2 \int \frac{1}{1+v^2} \, \frac{\sqrt3}{2} dv \quad \text{en posant } v=\frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \\ &= \frac 12 \big[ \ln|x^2+x+1| \big] - \sqrt3 \big[\arctan v\big] \\ &= \frac 12 \ln|x^2+x+1| - \sqrt3 \arctan \left( \frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \right) + c \\ \end{align*}$

Cette primitive est définie sur $\Rr$ .

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