\(\int \frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx\)

Le dénominateur \(u=x^2+x+1\) est irréductible, la fraction est donc déjà décomposée en éléments simples. On fait apparaître artificiellement une fraction du type \(\frac {u'}{u}\) qui s’intégrera à l’aide du logarithme :

\[\frac{x-1}{x^2+x+1} = \frac 12 \frac{2x+1}{x^2+x+1} - \frac 32 \frac{1}{x^2+x+1}\] Chacune de ces fractions s’intègre, la première est du type \(\frac {u'}{u}\) dont une primitive sera \(\ln |u|\), la deuxième sera du type \(\frac{1}{1+v^2}\) dont une primitive est \(\arctan v\).

En détails cela donne : \[\begin{align*} \int \frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx &= \int \frac 12 \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx - \frac 32\int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx \\ &= \frac 12 \big[ \ln |x^2+x+1| \big] - \frac 32\int \frac{1}{\frac 34} \frac{1}{1+ \left( \frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \right)^2} \, dx \\ &= \frac 12 \big[ \ln|x^2+x+1| \big] - 2 \int \frac{1}{1+v^2} \, \frac{\sqrt3}{2} dv \quad \text{en posant } v=\frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \\ &= \frac 12 \big[ \ln|x^2+x+1| \big] - \sqrt3 \big[\arctan v\big] \\ &= \frac 12 \ln|x^2+x+1| - \sqrt3 \arctan \left( \frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \right) + c \\ \end{align*}\]

Cette primitive est définie sur \(\Rr\).

exo7 6866