Dl de $f(x)$ à l’ordre $2$ en $0$ . $\begin{align*} f(x) & = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x^2}} \\ & = \frac{1+\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{1 + x + 1+\frac{x^2}{2} + o(x^2)} \quad \text{ car } \sqrt{1+x^2} = 1 + \frac12 x^2+o(x^2) \\ & = \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \frac 12 \frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4} + o(x^4)} \quad \text{ on pose } u=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4} + o(x^4) \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \frac{1}{1+u} \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \big(1-u+u^2+o(u^2)\big) \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \big(1- \big(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}\big) + \big(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}\big)^2+o(x^2)\big) \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \big(1- \frac{x}{2}+o(x^2)\big) \\ & = \frac 12 \big(1- \frac{x}{2}+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \\ & = \frac 12 - \frac{x}{4}+\frac{x^2}{4} + o(x^2) \\ \end{align*}$ En $+\infty$ on va poser $h=\frac1x$ et se ramener à un dl en $h=0$ .

$f(x)= \frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{x\big(\frac1x+1+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\big)} = \frac{\sqrt{1+h^2}}{1+h+\sqrt{1+h^2}} = f(h).$

Ici -miraculeusement- on retrouve exactement l’expression de $f$ dont on a déjà calculé le dl en $h=0$ : $f(h) = \frac 12 - \frac{h}{4}+\frac{h^2}{4} + o(h^2)$ . Ainsi $f(x) = f(h) = \frac 12 - \frac{1}{4x}+\frac{1}{4x^2} + o(\frac1{x^2})$ Attention cela ne fonctionne plus du tout en $-\infty$ . Dans le calcul de la deuxième question on était on voisinage de $+\infty$ et nous avons considéré que $x$ était positif. En $-\infty$ il faut faire attention au signe, par exemple $\sqrt{1+x^2}= |x|\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} = -x \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}$ .

Ainsi toujours en posant $h=\frac1x$ . $\begin{align*} f(x) & = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x+1+\sqrt{1+x^2}} \\ & = \frac{-x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{x\big(1+\frac1x-\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\big)} \\ & = -\frac{\sqrt{1+h^2}}{1+h-\sqrt{1+h^2}} \\ & = -\frac{1+\frac12 h^2 + o(h^2)}{1+h - \big(1+\frac12 h^2 + o(h^2) \big)} \\ & = - \frac{1+\frac12 h^2 + o(h^2)}{h - \frac12 h^2 + o(h^2)} \\ & = -\frac1h \frac{1+\frac12 h^2 + o(h^2)}{1 - \frac12 h + o(h)} \\ & = -\frac1h \big(1+\frac12 h^2 + o(h^2)\big)\times\big(1+\frac12h +\frac14 h^2 + o(h^2) \big) \\ & = -\frac1h\big(1 +\frac12h +\frac34 h^2 + o(h^2) \big) \\ & = -\frac1h -\frac12 -\frac34 h + o(h) \\ & = -x -\frac12 -\frac34 \frac1x + o(\frac1x) \\ \end{align*}$

Ainsi un développement (asymptotique) de $f$ en $-\infty$ est $f(x) = -x -\frac12 -\frac34 \frac1x + o(\frac1x)$ On en déduit par exemple que $f(x)$ se comporte essentiellement comme la fonction $-x$ en $-\infty$ et en particulier $\lim_{x\to -\infty} f = +\infty$ .

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