Dl de \(f(x)\) à l’ordre \(2\) en \(0\). \[\begin{align*} f(x) & = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x^2}} \\ & = \frac{1+\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{1 + x + 1+\frac{x^2}{2} + o(x^2)} \quad \text{ car } \sqrt{1+x^2} = 1 + \frac12 x^2+o(x^2) \\ & = \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \frac 12 \frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4} + o(x^4)} \quad \text{ on pose } u=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4} + o(x^4) \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \frac{1}{1+u} \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \big(1-u+u^2+o(u^2)\big) \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \big(1- \big(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}\big) + \big(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}\big)^2+o(x^2)\big) \\ & = \frac 12 \big(1+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \times \big(1- \frac{x}{2}+o(x^2)\big) \\ & = \frac 12 \big(1- \frac{x}{2}+\frac{x^2}{2} + o(x^2) \big) \\ & = \frac 12 - \frac{x}{4}+\frac{x^2}{4} + o(x^2) \\ \end{align*}\] En \(+\infty\) on va poser \(h=\frac1x\) et se ramener à un dl en \(h=0\).

\[f(x)= \frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{x\big(\frac1x+1+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\big)} = \frac{\sqrt{1+h^2}}{1+h+\sqrt{1+h^2}} = f(h).\]

Ici -miraculeusement- on retrouve exactement l’expression de \(f\) dont on a déjà calculé le dl en \(h=0\) : \(f(h) = \frac 12 - \frac{h}{4}+\frac{h^2}{4} + o(h^2)\). Ainsi \[f(x) = f(h) = \frac 12 - \frac{1}{4x}+\frac{1}{4x^2} + o(\frac1{x^2})\] Attention cela ne fonctionne plus du tout en \(-\infty\). Dans le calcul de la deuxième question on était on voisinage de \(+\infty\) et nous avons considéré que \(x\) était positif. En \(-\infty\) il faut faire attention au signe, par exemple \(\sqrt{1+x^2}= |x|\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} = -x \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\).

Ainsi toujours en posant \(h=\frac1x\). \[\begin{align*} f(x) & = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x+1+\sqrt{1+x^2}} \\ & = \frac{-x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}{x\big(1+\frac1x-\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\big)} \\ & = -\frac{\sqrt{1+h^2}}{1+h-\sqrt{1+h^2}} \\ & = -\frac{1+\frac12 h^2 + o(h^2)}{1+h - \big(1+\frac12 h^2 + o(h^2) \big)} \\ & = - \frac{1+\frac12 h^2 + o(h^2)}{h - \frac12 h^2 + o(h^2)} \\ & = -\frac1h \frac{1+\frac12 h^2 + o(h^2)}{1 - \frac12 h + o(h)} \\ & = -\frac1h \big(1+\frac12 h^2 + o(h^2)\big)\times\big(1+\frac12h +\frac14 h^2 + o(h^2) \big) \\ & = -\frac1h\big(1 +\frac12h +\frac34 h^2 + o(h^2) \big) \\ & = -\frac1h -\frac12 -\frac34 h + o(h) \\ & = -x -\frac12 -\frac34 \frac1x + o(\frac1x) \\ \end{align*}\]

Ainsi un développement (asymptotique) de \(f\) en \(-\infty\) est \[f(x) = -x -\frac12 -\frac34 \frac1x + o(\frac1x)\] On en déduit par exemple que \(f(x)\) se comporte essentiellement comme la fonction \(-x\) en \(-\infty\) et en particulier \(\lim_{x\to -\infty} f = +\infty\).

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