exo7 1133

Déterminer toutes les suites complexes satisfaisant la relation $(\star)$.

Déterminer toutes les suites réelles satisfaisant la relation $(\star)$.

On considère maintenant le déterminant d’ordre $n$ suivant : $$\Delta_{n}=\left| \begin{matrix} \sqrt{2} & 1 & & \hspace{-3ex}\raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{\text{\LARGE{$0$}}} \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ \hspace{3ex}\raisebox{1ex}[0pt][0pt]{\text{\LARGE{$0$}}} & & 1 & \sqrt{2} \\ \end{matrix}\, \right|$$

Calculer $\Delta_{n+2}$ en fonction de $\Delta_{n+1}$ et $\Delta_{n}$ pour $n\in\N$ (on pose $\Delta_{0}=1$).

En déduire la valeur de $\Delta_{n}$ en fonction de $n$.