On s’intéresse aux suites réelles \((u_{n})_{n\in\N}\) satisfaisant la relation de récurrence \[\forall n\in\N\qquad u_{n+2}=\sqrt{2}u_{n+1}-u_{n} \rlap{\hspace{1cm}($\star$)}\]
Déterminer toutes les suites complexes satisfaisant la relation \((\star)\).
Déterminer toutes les suites réelles satisfaisant la relation \((\star)\).
On considère maintenant le déterminant d’ordre \(n\) suivant : \[\Delta_{n}=\left| \begin{matrix} \sqrt{2} & 1 & & \hspace{-3ex}\raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{\text{\LARGE{$0$}}} \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ \hspace{3ex}\raisebox{1ex}[0pt][0pt]{\text{\LARGE{$0$}}} & & 1 & \sqrt{2} \\ \end{matrix}\, \right|\]
Calculer \(\Delta_{n+2}\) en fonction de \(\Delta_{n+1}\) et \(\Delta_{n}\) pour \(n\in\N\) (on pose \(\Delta_{0}=1\)).
En déduire la valeur de \(\Delta_{n}\) en fonction de \(n\).