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Soit $A\in\mathcal{M}_{n,n}(\R)$. On considère l’application $\Phi_{A}$ suivante : $$\Phi_{A}~: \begin{array}{ccc} (\R^{n})^{n} &\rightarrow & \R \\ M=(C_{1},...,C_{n})&\mapsto &\det(AM) \end{array}$$ Montrer que $\Phi_{A}$ est $n$-linéaire.

Calculer $A \times \left(\begin{array}{c|c} \begin{smallmatrix} 0&1\\1&0 \end{smallmatrix} &0\\ \hline 0&\mathrm{id}_{n-2} \end{array}\right)$. En déduire que $\Phi_{A}(e_{2},e_{1},e_{3}...e_{n})=-\Phi_{A}(e_{1},e_{2},e_{3}...e_{n})$.

Plus généralement, montrer que $\Phi_{A}$ est alternée.

Montrer que $\Phi_{A}(M)=\det(A)\det(M)$.

En déduire que : $$\forall (A,B)\in\mathcal{M}_{n,n}(\R),\qquad \det(AB)=\det(BA)=\det(A)\det(B)$$