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Soit \(A\in\mathcal{M}_{n,n}(\R)\). On considère l’application \(\Phi_{A}\) suivante : \[\Phi_{A}~: \begin{array}{ccc} (\R^{n})^{n} &\rightarrow & \R \\ M=(C_{1},...,C_{n})&\mapsto &\det(AM) \end{array}\] Montrer que \(\Phi_{A}\) est \(n\)-linéaire.
Calculer \(A \times \left(\begin{array}{c|c} \begin{smallmatrix} 0&1\\1&0 \end{smallmatrix} &0\\ \hline 0&\mathrm{id}_{n-2} \end{array}\right)\). En déduire que \(\Phi_{A}(e_{2},e_{1},e_{3}...e_{n})=-\Phi_{A}(e_{1},e_{2},e_{3}...e_{n})\).
Plus généralement, montrer que \(\Phi_{A}\) est alternée.
Montrer que \(\Phi_{A}(M)=\det(A)\det(M)\).
En déduire que : \[\forall (A,B)\in\mathcal{M}_{n,n}(\R),\qquad \det(AB)=\det(BA)=\det(A)\det(B)\]