Soit $(x_1,...,x_n)\in\Rr^n$ et $F=\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{X+b_k}$ .

La fraction rationnelle $F$ s’écrit, après réduction au même dénominateur :

$F=\frac{P}{Q}\;\mbox{où}\;Q=\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)\;\mbox{et}\;P\mbox{est un polynôme de degré infèrieur ou égal à}\;n-1.$

Maintenant,

$(x_1,...,x_n)\;\mbox{solution de}\;(S)\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;F(a_k)=1\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;(Q-P)(a_k)=0.$

Par suite, puisque les $a_k$ sont deux à deux distincts, $Q-P$ est divisible par $\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)$ . Mais, $Q$ est unitaire de degré $n$ et $P$ est de degré infèrieur ou égal à $n-1$ , et donc $Q-P$ est unitaire de degré $n$ ce qui montre que $Q-P=\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)$ ou encore que

$P=\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(X-a_k).$

Réciproquement, si $F=\frac{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)}$ , alors $\forall k\in\{1,...,n\},\;F(a_k)=1$ .

En résumé,

$\begin{align*}\ensuremath (x_1,...,x_n)\;\mbox{solution de}\;(S)&\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{X+b_k}= \frac{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)}\\ &\Leftrightarrow\forall i\in\{1,...,n\},\;x_i=\lim_{x\rightarrow -b_i}(x+b_i)\frac{\prod_{k=1}^{n}(x+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(x-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(x+b_k)}\\&\Leftrightarrow\forall i\in\{1,...,n\},\;x_i=\frac{\prod_{k=1}^{n}(b_i+a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(b_k-b_i)} \end{align*}$

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