Soit \((x_1,...,x_n)\in\Rr^n\) et \(F=\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{X+b_k}\).

La fraction rationnelle \(F\) s’écrit, après réduction au même dénominateur :

\[F=\frac{P}{Q}\;\mbox{où}\;Q=\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)\;\mbox{et}\;P\mbox{est un polynôme de degré infèrieur ou égal à}\;n-1.\]

Maintenant,

\[(x_1,...,x_n)\;\mbox{solution de}\;(S)\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;F(a_k)=1\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;(Q-P)(a_k)=0.\]

Par suite, puisque les \(a_k\) sont deux à deux distincts, \(Q-P\) est divisible par \(\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)\). Mais, \(Q\) est unitaire de degré \(n\) et \(P\) est de degré infèrieur ou égal à \(n-1\), et donc \(Q-P\) est unitaire de degré \(n\) ce qui montre que \(Q-P=\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)\) ou encore que

\[P=\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(X-a_k).\]

Réciproquement, si \(F=\frac{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)}\), alors \(\forall k\in\{1,...,n\},\;F(a_k)=1\).

En résumé,

\[\begin{align*}\ensuremath (x_1,...,x_n)\;\mbox{solution de}\;(S)&\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{X+b_k}= \frac{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(X-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)}\\ &\Leftrightarrow\forall i\in\{1,...,n\},\;x_i=\lim_{x\rightarrow -b_i}(x+b_i)\frac{\prod_{k=1}^{n}(x+b_k)-\prod_{k=1}^{n}(x-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(x+b_k)}\\&\Leftrightarrow\forall i\in\{1,...,n\},\;x_i=\frac{\prod_{k=1}^{n}(b_i+a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(b_k-b_i)} \end{align*}\]

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