Le coefficient ligne \(j\), colonne \(k\), \((j,k)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), de la matrice \(A\) vaut \(a_{k-j}\) avec la convention : si \(-(n-1)\leqslant u\leqslant -1\), \(a_u = a_{n+u}\).

Le coefficient ligne \(j\), colonne \(k\), \((j,k)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), de la matrice \(A\Omega\) vaut

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{u=1}^{n}a_{u-j}\omega^{(u-1)(k-1)}&=\sum_{v=-(j-1)}^{n-j}a_v\omega^{(v+j-1)(k-1)}=\sum_{v=-(j-1)}^{-1}a_v\omega^{(v+j-1)(k-1)}+\sum_{v=0}^{n-j}a_v\omega^{(v+j-1)(k-1)}\\ &=\sum_{v=-(j-1)}^{-1}a_{v+n}\omega^{(v+n+j-1)(k-1)}+\sum_{u=0}^{n-j}a_u\omega^{(u+j-1)(k-1)}\;(\text{car}\;a_{v+n}=a_v\;\text{et}\;\omega^n = 1)\\ &=\sum_{u=n-j+1}^{n-1}a_{u}\omega^{(u+j-1)(k-1)}+\sum_{u=0}^{n-j}a_u\omega^{(u+j-1)(k-1)}=\sum_{u=0}^{n-1}a_u\omega^{(u+j-1)(k-1)}\\ &=\omega^{(j-1)(k-1)}\sum_{u=0}^{n-1}a_u\omega^{u(k-1)}. \end{align*}\]

Pour \(k\in\llbracket1,n\rrbracket\), posons \(S_k =\sum_{u=0}^{n-1}a_u\omega^{u(k-1)}\). Le coefficient ligne \(j\), colonne \(k\) de \(A\Omega\) vaut donc \(\omega^{(j-1)(k-1)}S_k\). Par passage au détereminant, on en déduit que :

\(\text{det}(A\Omega)=\text{det}\left(\omega^{(j-1)(k-1)}S_k\right)_{1\leqslant j,k\leqslant n}=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\text{det}(\omega^{(j-1)(k-1)})_{1\leqslant j,k\leqslant n}\)

(\(S_k\) est en facteur de la colonne \(k\)) ou encore \((\text{det}A)(\text{det}\Omega)=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)(\text{det}\Omega)\). Enfin, \(\Omega\) est la matrice de Vandermonde des racines \(n\)-èmes de l’unité et est donc inversible puisque celles-ci sont deux à deux distinctes. Par suite \(\text{det}\Omega\neq0\) et après simplification on obtient

Par exemple, \(\left| \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right|=S_1S_2S_3 =(a+b+c)(a+jb+j^2c)(a+j^2b+jc)\) où \(j =e^{2i\pi/3}\).

Un calcul bien plus simple sera fourni dans la planche Réduction .

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