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Soit $M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)$ et $q\in[[1,\min(n,p)]]$ .

Pour $X=\{x_1,\dots,x_q\}$ et $Y=\{y_1,\dots,y_q\}$ avec $1\le x_1< x_2< \dots< x_q\le n$ et $1\le y_1< y_2< \dots< y_q\le p$ on note $\Delta_{X,Y}(M)$ le déterminant de la matrice $q\times q$ de terme général $a_{x_i,y_j}$ .

Soient $M\in\mathcal{M}_{np}(K)$ et $N\in\mathcal{M}_{pn}(K)$ avec $n\le p$ . Montrer que $\det(MN) = \sum_{X\subset[[1,p]];\mathrm{Card}\, X = n}\Delta_{[[1,n]],X}(M)\Delta_{X,[[1,n]]}(N)$ (considérer les deux membres comme des fonctions des colonnes de $N$ ).

Donner une formule pour $\det(MN)$ quand $n>p$ .

Soient $M\in\mathcal{M}_{np}(K)$ , $N\in\mathcal{M}_{pq}(K)$ et $r\in{[[1,\min(n,q)]]}$ . Montrer, pour $X\subset{[[1,n]]}$ et $Y\subset{[[1,q]]}$ avec $\mathrm{Card}\,(X) = \mathrm{Card}\,(Y) = r$ : $\Delta_{X,Y}(MN) = \sum_{Z\subset{[[1,p]]} ;\mathrm{Card}\,(Z)=r}\Delta_{X,Z}(M)\Delta_{Z,Y}(N)$ .

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