Soit \(M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(q\in[[1,\min(n,p)]]\).
Pour \(X=\{x_1,\dots,x_q\}\) et \(Y=\{y_1,\dots,y_q\}\) avec \(1\le x_1< x_2< \dots< x_q\le n\) et \(1\le y_1< y_2< \dots< y_q\le p\) on note \(\Delta_{X,Y}(M)\) le déterminant de la matrice \(q\times q\) de terme général \(a_{x_i,y_j}\).
Soient \(M\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(N\in\mathcal{M}_{pn}(K)\) avec \(n\le p\). Montrer que \(\det(MN) = \sum_{X\subset[[1,p]];\mathrm{Card}\, X = n}\Delta_{[[1,n]],X}(M)\Delta_{X,[[1,n]]}(N)\) (considérer les deux membres comme des fonctions des colonnes de \(N\)).
Donner une formule pour \(\det(MN)\) quand \(n>p\).
Soient \(M\in\mathcal{M}_{np}(K)\), \(N\in\mathcal{M}_{pq}(K)\) et \(r\in{[[1,\min(n,q)]]}\). Montrer, pour \(X\subset{[[1,n]]}\) et \(Y\subset{[[1,q]]}\) avec \(\mathrm{Card}\,(X) = \mathrm{Card}\,(Y) = r\) : \(\Delta_{X,Y}(MN) = \sum_{Z\subset{[[1,p]]} ;\mathrm{Card}\,(Z)=r}\Delta_{X,Z}(M)\Delta_{Z,Y}(N)\).