En développant suivant la dernière colonne, on obtient

$\text{det}(A-xI_n)=\left| \begin{array}{ccccc} -x&0&\ldots&0&a_0\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots&a_1\\ 0&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&-x&a_{n-1}\\ 0&\ldots&0&1&a_n-x \end{array} \right|= (-x)^n(a_n-x)+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k+1}a_k\Delta_k$

où $\Delta_k=\left| \begin{array}{cccccccc} -x&0&\ldots&0&\times&\ldots&\ldots&\times\\ \times&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots& & &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots& & &\vdots\\ \times&\ldots&\times&-x&\times&\ldots&\ldots&\times\\ 0&\ldots&\ldots&0&1&\times&\ldots&\times\\ \vdots& & &\vdots&0&\ddots &\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\times\\ 0&\ldots&\ldots&0&0&\ldots&0&1\\ \end{array} \right|= (-x)^k1^{n-k}=(-x)^k$ (déterminant par blocs)

Finalement,

$\begin{align*}\ensuremath \text{det}(A-xI_n)=(-x)^n(a_n-x) +\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k+1}a_k(-x)^k=(-1)^{n+1}\left(x^{n+1}-\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\right). \end{align*}$

exo7 5649