Soit \(a\) un réel. On note \(\Delta_n\) le déterminant suivant : \[\Delta_n = \left\vert \begin{matrix} a & 0 & \cdots & 0 & n-1 \\ 0 & a & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 2 \\ 0 & \cdots & 0 & a & 1 \\ n-1 & \cdots & 2 & 1 & a \end{matrix} \right\vert\]
1
Calculer \(\Delta_n\) en fonction de \(\Delta_{n-1}\).
2
Démontrer que : \(\displaystyle \forall n\geq2\quad \Delta_n=a^n-a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}{i^2}\).