En développant par rapport à la première colonne on trouve la relation suivante :

$\Delta_n = a \Delta_{n-1} + (-1)^{n-1}(n-1) \left\vert \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1 \\ a & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 3 \\ 0 & \cdots & a & 0 & 2 \\ 0 & \cdots & 0 & a & 1 \end{matrix} \right\vert$ Notons $\delta$ ce dernier déterminant (dont la matrice est de taille $n-1\times n-1$ ). On le calcule en développant par rapport à la première ligne $\delta = (-1)^{n-2}(n-1) \left\vert \begin{matrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a \end{matrix}\right\vert = (-1)^{n-2}(n-1) a^{n-2}.$ Donc $\Delta_n = a \Delta_{n-1} - a^{n-2}(n-1)^2.$ Prouvons la formule $\Delta_n=a^n-a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}{i^2}$ par récurrence sur $n\ge 2$ .

Initialisation. Pour $n=2$ , $\Delta_2=\begin{vmatrix}a&1\\1&a\end{vmatrix}=a^2-1$ donc la formule est vraie.
Hérédité. Supposons la formule vraie vraie au rang $n-1$ , c’est-à-dire $\Delta_{n-1}=a^{n-1}-a^{n-3}\sum_{i=1}^{n-2}{i^2}$ . Calculons $\Delta_n$ : $\begin{align*} \Delta_n & = a \Delta_{n-1} - a^{n-2}(n-1)^2 \quad \text{ par la première question } \\ & = a\Big(a^{n-1}-a^{n-3}\sum_{i=1}^{n-2}{i^2} \Big) - a^{n-2}(n-1)^2 \quad \text{ par l'hypothèse de récurrence} \\ & = a^n - a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-2}{i^2} - a^{n-2}(n-1)^2 \\ & = a^n-a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}{i^2} \end{align*}$ La formule est donc vraie au rang $n$ .
Conclusion. Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier $n\ge 2$ .

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