Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(U = \begin{pmatrix} 1 &\dots &1 \cr \vdots & &\vdots \cr 1 &\dots &1 \cr \end{pmatrix}\).
1
Démontrer que : \(\det(A + \alpha U) = \det A + \alpha \sum \text{cofacteurs de } A\).
2
En déduire la valeur de \(D(a,b,c) = \begin{vmatrix}a & b & \dots & b \cr c & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & b \cr c & \dots & c & a \end{vmatrix}\),
3
pour \(b \ne c\).
4
pour \(b = c\).