Soit $A_n$ la matrice de l’énoncé.

En développant $\mbox{det}A_n$ suivant sa première colonne puis en développant le déterminant de format $n-1$ obtenu suivant sa première ligne, on obtient $\mbox{det}A_n=-\mbox{det}A_{n-2}$ pour $n\geq3$ .

Par suite, pour $p\geq1$ , $\mbox{det}A_{2p}=(-1)^{p-1}\mbox{det}A_2=(-1)^p\neq0$ et pour $p\geq1$ , $A_{2p}$ est inversible.

On a aussi, pour $p\geq1$ , $\mbox{det}A_{2p+1}=(-1)^{p-1}\mbox{det}A_3=0$ et, pour $p\geq1$ , $A_{2p+1}$ n’est pas inversible. Finalement, $A_n$ est inversible si et seulement si $n$ est pair.

Dorénavant, on pose $n=2p$ ( $p\geq1$ ).

Pour $X=(x_i)_{1\leq i\leq n}$ et $Y=(y_i)_{1\leq i\leq n}$ vecteurs colonnes donnés, on a :

$AX=Y\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_2=y_1\\ \forall i\in\{2,...,2p-1\},\;x_{i-1}+x_{i+1}=y_i\\ x_{2p-1}=y_{2p} \end{array} \right..$

Ce système se résoud en $x_2=y_1$ puis, par récurrence, pour $k\leq p$ , $x_{2k}=y_{2k-1}-y_{2k-3}+...+(-1)^{k-1}y_1$ et aussi $x_{2p-1}=y_{2p}$ , puis, par récurrence, pour $k\leq p$ , $x_{2k-1}=y_{2k}-y_{2k+2}+...+(-1)^{p-k}y_{2p}$ . D’où l’inverse de $A$ quand $n=8$ par exemple :

$A^{-1}= \left( \begin{array}{cccccccc} 0&1&0&-1&0&1&0&-1\\ 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&-1&0&1\\ -1&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&-1\\ 1&0&-1&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1\\ -1&0&1&0&-1&0&1&0 \end{array} \right).$

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