On note \(\R_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\).
Pour chaque \(i\in\{0,\ldots,n\}\), on note \(\alpha_{i}\) l’application \[\alpha_{i} : \begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R \\[3mm] P & \mapsto & P(x_{i}) \end{array}\]
Vérifier que chaque \(\alpha_{i}\) est une forme linéaire sur \(\R_{n}[X]\)
On note \(G\) l’espace engendré par \(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\). Déterminer \(G^{\circ}\). En déduire que la famille \((\alpha_{0},\ldots,\alpha_{n})\) est une base de \((\R_{n}[X])^{*}\).
Montrer que la famille \((\alpha_{0},\ldots,\alpha_{n})\) est une base de \((\R_{n}[X])^{*}\).
Montrer qu’il existe des réels \(\lambda_{0},\ldots,\lambda_{n}\) tels que \[\forall P\in\R_{n}[X]\;\; \int_{0}^{1}{P(t)dt} = \sum_{i=0}^{n}\lambda_{i}P(x_{i})\]
Montrer qu’il existe une unique famille de polynômes \((P_0,\ldots,P_n)\) de \(R_n[X]\) telle que \(\forall (i,j)\in\{0,\ldots,n\}^{2}\;\;\;P_{i}(x_{j})= \begin{cases} 1 &\text{ si $j=i$}\\ 0 &\text{ sinon} \end{cases}\)
En déduire que pour toute fonction continue \(f\) de \(\R\) dans \(\R\), il existe un polynôme \(P\) de degré \(n\), qui interpole \(f\) en chaque point \(x_i\), c’est à dire qui satisfait : \[\forall i\in\{!,...,n\}\quad P(x_i)=f(x_i).\]