exo7 1108

Vérifier que chaque $\alpha_{i}$ est une forme linéaire sur $\R_{n}[X]$

On note $G$ l’espace engendré par $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$. Déterminer $G^{\circ}$. En déduire que la famille $(\alpha_{0},\ldots,\alpha_{n})$ est une base de $(\R_{n}[X])^{*}$.

Montrer que la famille $(\alpha_{0},\ldots,\alpha_{n})$ est une base de $(\R_{n}[X])^{*}$.

Montrer qu’il existe des réels $\lambda_{0},\ldots,\lambda_{n}$ tels que $$\forall P\in\R_{n}[X]\;\; \int_{0}^{1}{P(t)dt} = \sum_{i=0}^{n}\lambda_{i}P(x_{i})$$

Montrer qu’il existe une unique famille de polynômes $(P_0,\ldots,P_n)$ de $R_n[X]$ telle que $\forall (i,j)\in\{0,\ldots,n\}^{2}\;\;\;P_{i}(x_{j})= \begin{cases} 1 &\text{ si $j=i$}\\ 0 &\text{ sinon} \end{cases}$

En déduire que pour toute fonction continue $f$ de $\R$ dans $\R$, il existe un polynôme $P$ de degré $n$, qui interpole $f$ en chaque point $x_i$, c’est à dire qui satisfait : $$\forall i\in\{!,...,n\}\quad P(x_i)=f(x_i).$$