$(1)\Rightarrow(2)$ . Montrons par récurrence sur $n\geq1$ que : $(\forall(a_1,...,a_n)\in E^n/\;(\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}= 0)\Rightarrow((f_1,...,f_n)$ liée).

Pour $n=1$ ,

$(\forall a_1\in E/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq1}=0)\Rightarrow(\forall a_1/\;f_1(a_1)=0)\Rightarrow(f_1=0)\Rightarrow(f_1)\;\mbox{liée}.$

Soit $n\geq2$ . Supposons que $(\forall(a_1,...,a_{n-1})\in E^{n-1}/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n-1}=0)\Rightarrow(f_1,...,f_{n-1})$ liée.

Soient $f_1$ ,..., $f_n$ $n$ fonctions telles que $\forall(a_1,...,a_n)\in E^n/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}=0$ .

Si $(f_1,...,f_{n-1})$ est liée alors $(f_1,...,f_n)$ est liée en tant que sur famille d’une famille liée. Si $(f_1,...,f_{n-1})$ est libre, par hypothèse de récurrence, il existe $a_1$ ,..., $a_{n-1}$ $n-1$ éléments de $E$ tels que $\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n-1}\neq 0$ . Mais, par hypothèse, on a :

$\forall x\in E,\;\mbox{det}(f_i(a_1),...,f_i(a_{n-1}),f_i(x))_{1\leq i\leq n}=0.$

En développant ce déterminant suivant sa dernière colonne, on obtient une égalité du type $\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i(x)=0$ où les $\lambda_i$ sont indépendants de $x$ ou encore une égalité du type $\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i=0$ avec $\lambda_n=\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n-1}\neq0$ ce qui montre encore que $(f_1,...,f_n)$ est liée.

$(2)\Rightarrow(1)$ . On suppose que $\exists(a_1,...,a_n)\in E^n/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}\neq 0)$ . Montrons que $(f_1,...,f_n)$ est libre.

Soit $(\lambda_1,...,\lambda_n)\in\Cc^n$ tel que $\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i=0$ . En particulier : $\forall j\in\{1,...,n\},\;\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i(a_j)=0$ . Les $n$ égalités précédentes fournissent un système d’équations linéaires en les $\lambda_i$ à $n$ inconnues, $n$ équations, de déterminant non nul et homogène ou encore un système de Cramer homogène dont on sait qu’il admet pour unique solution $(\lambda_1,...,\lambda_n)=(0,...,0)$ . On a montré que $(f_1,...,f_n)$ est libre.

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