\((1)\Rightarrow(2)\). Montrons par récurrence sur \(n\geq1\) que : \((\forall(a_1,...,a_n)\in E^n/\;(\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}= 0)\Rightarrow((f_1,...,f_n)\) liée).

Pour \(n=1\),

\[(\forall a_1\in E/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq1}=0)\Rightarrow(\forall a_1/\;f_1(a_1)=0)\Rightarrow(f_1=0)\Rightarrow(f_1)\;\mbox{liée}.\]

Soit \(n\geq2\). Supposons que \((\forall(a_1,...,a_{n-1})\in E^{n-1}/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n-1}=0)\Rightarrow(f_1,...,f_{n-1})\) liée.

Soient \(f_1\),..., \(f_n\) \(n\) fonctions telles que \(\forall(a_1,...,a_n)\in E^n/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}=0\).

Si \((f_1,...,f_{n-1})\) est liée alors \((f_1,...,f_n)\) est liée en tant que sur famille d’une famille liée. Si \((f_1,...,f_{n-1})\) est libre, par hypothèse de récurrence, il existe \(a_1\),...,\(a_{n-1}\) \(n-1\) éléments de \(E\) tels que \(\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n-1}\neq 0\). Mais, par hypothèse, on a :

\[\forall x\in E,\;\mbox{det}(f_i(a_1),...,f_i(a_{n-1}),f_i(x))_{1\leq i\leq n}=0.\]

En développant ce déterminant suivant sa dernière colonne, on obtient une égalité du type \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i(x)=0\) où les \(\lambda_i\) sont indépendants de \(x\) ou encore une égalité du type \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i=0\) avec \(\lambda_n=\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n-1}\neq0\) ce qui montre encore que \((f_1,...,f_n)\) est liée.

\((2)\Rightarrow(1)\). On suppose que \(\exists(a_1,...,a_n)\in E^n/\;\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}\neq 0)\). Montrons que \((f_1,...,f_n)\) est libre.

Soit \((\lambda_1,...,\lambda_n)\in\Cc^n\) tel que \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i=0\). En particulier : \(\forall j\in\{1,...,n\},\;\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_i(a_j)=0\). Les \(n\) égalités précédentes fournissent un système d’équations linéaires en les \(\lambda_i\) à \(n\) inconnues, \(n\) équations, de déterminant non nul et homogène ou encore un système de Cramer homogène dont on sait qu’il admet pour unique solution \((\lambda_1,...,\lambda_n)=(0,...,0)\). On a montré que \((f_1,...,f_n)\) est libre.

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