Si $\text{rg} M\leqslant n-1$ , l’égalité $M=\text{com}M$ entraîne $M{^t}M=M{^t}(\text{com}M)=(\text{det}M)I_n=0$ et donc $M = 0$ . En effet,

$\begin{align*}\ensuremath M{^t}M=0&\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;M{^t}MX=0\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;{^t}XM{^t}MX = 0\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;\left\|{^t}MX\right\|^2=0\\ &\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;{^t}MX = 0\Rightarrow{^t}M=0\Rightarrow M=0. \end{align*}$

En résumé, si $M$ est solution, $M=0$ ou $M$ est inversible.

Dans le deuxième cas, d’après l’exercice [ex:rou17], on doit avoir $\text{det}M=(\text{det}M)^{n-1}$ et donc, puisque $\text{det}M\neq0$ , $\text{det}M\in\{-1,1\}$ (et même $\text{det}M=1$ si $n$ est impair) car $\text{det}M$ est réel.

Si $\text{det}M=-1$ , on doit avoir $M{^t}M=-I_n$ mais ceci est impossible car le coefficient ligne $1$ , colonne $1$ , de la matrice $M{^t}M$ vaut $m_{1,1}^2+...+m_{1,n}^2\neq-1$ .

Il reste le cas où $\text{det}M=1$ , l’égalité $M=\text{com}M$ entraîne $M{^t}M=I_n$ c’est-à-dire $M$ est orthogonale positive.

Réciproquement, si $M$ est orthogonale positive, ${^t}M=M^{-1}=\frac{1}{\text{det}M}{^t}(\text{com}M)={^t}\text{com}M$ et donc $M=\text{com}M$ .

Finalement ,

$\mathcal{S}=\{0\}\cup O_n^+(\Rr)$ .

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