On a toujours \(A{^t}(\text{com}A)=(\text{det}A)I_n\). Par passage au déterminant et puisqu’une matrice a même déterminant que sa transposée, on obtient

\((\text{det}A)(\text{det}(\text{com}A)) = (\text{det}A)^n\).

Si \(\text{det}A\) n’est pas nul, on en déduit \(\text{det}(\text{com}A)=(\text{det}A)^{n-1}\).

Si \(\text{det}A\) est nul, on a \(A{^t}(\text{com}A) = 0\) et donc \({^t}\text{com}A\) est soit nulle, soit diviseur de zéro, et donc dans tous les cas non inversible. Il en est de même de \(\text{com}A\) et donc \(\text{det}(\text{com}A) = 0=(\text{det}A)^{n-1}\). Finalement

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