L2 Algèbre Déterminant, système linéaire Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 2 questions

exo7 2457

Soit $A, B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ , $A$ inversible.

Montrer que $\det(A +\lambda B)$ est un polynôme en $\lambda$ de degré $n$ . Quels sont ses termes de plus haut et de plus bas degré ?

En déduire que si $A$ est une matrice inversible, pour toute matrice $B$ , il existe $\varepsilon_0 > 0$ tel que $A +\varepsilon B$ soit aussi inversible, $\forall \varepsilon \in [-\varepsilon_0,\varepsilon_0]$ .