Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\), \(A\) inversible.
1
Montrer que \(\det(A +\lambda B)\) est un polynôme en \(\lambda\) de degré \(n\). Quels sont ses termes de plus haut et de plus bas degré ?
2
En déduire que si \(A\) est une matrice inversible, pour toute matrice \(B\), il existe \(\varepsilon_0 > 0\) tel que \(A +\varepsilon B\) soit aussi inversible, \(\forall \varepsilon \in [-\varepsilon_0,\varepsilon_0]\).