Commençons par un travail préparatoire : le calcul du déterminant de taille \((n-1)\times (n-1)\) : \[\Gamma_k = \begin{array}{|cccc|cccc|} x & & & &&&&\\ -1 & x & & &&&&\\ & \ddots & \ddots & &&&&\\ & & -1 & x &&&&\\ \hline &&&& -1 & x & & \\ &&&& &\ddots & \ddots & \\ &&&& & &\ddots & x \\ &&&& & & & -1 \\ \end{array}\] où le bloc en haut à gauche est de taille \(k\times k\).

On développe, en commençant par la première ligne, puis encore une fois par la première ligne,... pour trouver que \[\Gamma_k = x^k\times (-1)^{n-1-k}\]

Autre méthode : on retrouve le même résultat en utilisant les déterminant par blocs : \[\begin{array}{|c|c|} A & B \\ \hline (0) & C \\ \end{array} = \det A \times \det C\]

Revenons à l’exercice !

Contrairement à l’habitude on développe par rapport à la colonne qui a le moins de \(0\). En développant par rapport à la dernière colonne on obtient : \[\begin{align*} \Delta_{n} & = \begin{vmatrix} x & 0 & & a_{0} \\ -1 &\ddots &\ddots &\vdots \\ &\ddots &x & a_{n-2} \\ 0 & & -1 & x+a_{n-1} \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{n-1} a_0 \begin{vmatrix} -1 & x & & \\ & -1 & x & \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & -1 \end{vmatrix} + (-1)^{n} a_1 \begin{vmatrix} x & &&&\\ & -1 & x & & \\ & & -1 & x & \\ & & & \ddots & \ddots \\ & & & & -1 \end{vmatrix} \\ & \quad + \cdots + (-1)^{2n-3} a_{n-2} \begin{vmatrix} x & & & & \\ -1 &\ddots & & & \\ &\ddots &\ddots & & \\ && -1 & x & \\ &&&& -1 \\ \end{vmatrix} + (-1)^{2n-2}(x+a_{n-1}) \begin{vmatrix} x & & & \\ -1 &\ddots & & \\ &\ddots &\ddots & \\ & & -1 & x \\ \end{vmatrix} \\ & = \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^{n-1+k} a_ k \times \Gamma_k \quad + \quad (-1)^{2n-2}(x+a_{n-1})\Gamma_{n-1} \\ & = \sum_{k=0}^{n-2} (-1)^{n-1+k} a_ k \times x^k\times (-1)^{n-1-k} \quad + \quad (x+a_{n-1})x^{n-1}\\ & = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n\\ \end{align*}\]

exo7 1143