On considère les matrices :
\[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} \hskip10mm N= \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 & 3 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} \hskip5mm A=I+N .\]
Pour tout \(n \in \N ^*\) calculer \(\hbox{det}(A^n) .\)
Calculer \(N^2\) et \(N^3 .\)
Pour tout \(n \in \N ^*\) donner le rang de \(N^n\) et celui de \(A^n .\)
En utilisant 1., donner, en fonction de \(n \in \N ^* ,\) l’expression de la matrice \(M(n)=A^n .\)
Pour \(n \in \N ^* ,\) justifier la formule \((A^n)^{-1}=M(-n) .\) Expliquer et justifier l’écriture : \(A^n=M(n)\) pour tout \(n \in \Z .\)