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On considère les matrices :

$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} \hskip10mm N= \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 & 3 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} \hskip5mm A=I+N .$

Pour tout $n \in \N ^*$ calculer $\hbox{det}(A^n) .$

Calculer $N^2$ et $N^3 .$

Pour tout $n \in \N ^*$ donner le rang de $N^n$ et celui de $A^n .$

En utilisant 1., donner, en fonction de $n \in \N ^* ,$ l’expression de la matrice $M(n)=A^n .$

Pour $n \in \N ^* ,$ justifier la formule $(A^n)^{-1}=M(-n) .$ Expliquer et justifier l’écriture : $A^n=M(n)$ pour tout $n \in \Z .$

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