On se place dans $\Z/p\Z$ et on considère $J = (\delta_{i,i+1\bmod p})$ . On a $J^p = I$ et $A = a_0J^0 + \dots a_{p-1}J^{p-1}$ donc $A^p = (a_0^p+\dots + a_{p-1}^p)I$ (car on est en caractéristique $p$ ).

On en déduit $\det(A) = \det(A)^p = (a_0^p+\dots + a_{p-1}^p)^p = a_0+\dots + a_{p-1}$ .

Autre méthode en restant dans $\Z$ : $\det(A) = \sum_{\sigma\in S_p} \varepsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\dots a_{p,\sigma(p)} = \sum_{\sigma\in S_p} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1)-1\bmod p}\dots a_{\sigma(p)-p\bmod p}$ . Notons $x(\sigma) = \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1)-1\bmod p}\dots a_{\sigma(p)-p\bmod p}$ et $c$ le cycle $(1,2,\dots,p)$ . Alors $x(\sigma) = x(c^{-k}\circ\sigma\circ c^k)$ pour tout $k\in\Z$ . Le nombre de permutations distinctes que l’on obtient à $\sigma$ fixé en faisant varier $k$ est égal à $1$ si $\sigma$ et $c$ commutent, et à $p$ sinon, d’après la relation : $\mathrm{Card}\,(\text{orbite})\times\mathrm{Card}\,(\text{stabilisateur}) = \mathrm{Card}\,({<c>}) =p$ . De plus, $c$ et $\sigma$ commutent si et seulement si $\sigma\in{<c>}$ (facile), d’où $\det(A)\equiv \sum_{k=0}^{p-1}\varepsilon(c^k)a_{k}^p \equiv a_0+\dots+a_{p-1}\bmod p$ .

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