Pour éviter d’avoir à diviser par $a$ on réordonne nos lignes puis on applique la méthode du pivot : $\left\{\begin{array}{ccccccll} x &+& by &+& az &=& 1 & _{L_1} \cr x &+& aby &+& z &=& b & _{L_2} \cr ax &+& by &+& z &=& 1 & _{L_3} \cr \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{ccccccll} x &+& by &+& az &=& 1 &_{L_1} \cr & & b(a-1)y &+& (1-a)z &=& b-1 & _{L_2 \leftarrow L_2-L_1} \cr && b(1-a)y &+& (1-a^2)z &=& 1-a & _{L_3 \leftarrow L_3-aL_1} \cr \end{array}\right.$ On fait ensuite $L_3 \leftarrow L_3+L_2$ pour obtenir un système triangulaire équivalent au système initial : $\left\{\begin{array}{ccccccl} x &+& by &+& az &=& 1 \cr & & b(a-1)y &+& (1-a)z &=& b-1 \cr && && (2-a-a^2)z &=& b-a \cr \end{array}\right.$ Nous allons maintenant discuter de l’existence des solutions. Remarquons d’abord que $2-a-a^2= -(a-1)(a+2)$ . Donc si $a\neq 1$ et $a\neq -2$ alors $2-a-a^2\neq 0$ donc $z=\frac{a-b}{(a-1)(a+2)}$ . On a donc trouvé la valeur de $z$ . La deuxième ligne du système triangulaire est $b(a-1)y + (1-a)z = b-1$ on sait déjà $a-1\neq 0$ . Si $b\neq 0$ alors, en reportant la valeur de $z$ obtenue, on trouve la valeur $y= \frac{b-1 - (1-a)z}{b(a-1)}$ . Puis avec la première ligne on en déduit aussi $x=1-by-az$ . Donc si $a\neq 1$ et $a \neq -2$ et $b\neq 0$ alors il existe une unique solution $(x,y,z)$ . Il faut maintenant s’occuper des cas particuliers. Si $a=1$ alors notre système triangulaire devient : $\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &+&z&=& 1 \cr & & & & 0 &=& b-1 \cr && && 0 &=& b-1 \cr \end{array}\right.$ Si $b\neq 1$ il n’y a pas de solution. Si $a=1$ et $b=1$ alors il ne reste plus que l’équation $x+y+z=1$ . On choisit par exemple $y,z$ comme paramètres, l’ensemble des solutions est $\big\{(1-y-z,y,z) \mid y,z \in \Rr \big\}.$ Si $a=-2$ alors le système triangulaire devient : $\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &-& 2z &=& 1 \cr & & -3by &+& 3z &=& b-1 \cr && && 0 &=& b+2 \cr \end{array}\right.$ Donc si $b\neq -2$ il n’y a pas de solution. Si $a=-2$ et $b=-2$ alors le système est $\left\{\begin{array}{ccccccc} x &-& 2y &-& 2z &=& 1 \cr & & 2y &+& z &=& -1 \cr \end{array}\right.$ Si l’on choisit $y$ comme paramètre alors il y a une infinité de solutions $\big\{(-1-2y,y,-1-2y) \mid y \in \Rr \big\}.$ Enfin si $b=0$ alors la deuxième et troisième ligne du système triangulaire sont : $(1-a)z =-1$ et $(2-a-a^2)z =-a$ . Donc $z=\frac{-1}{1-a}=\frac{-a}{2-a-a^2}$ (le sous-cas $b=0$ et $a=1$ n’a pas de solution). Dans tous les cas il n’y a pas de solution. Conclusion :

Si $a\neq 1$ et $a\neq -2$ et $b\neq 0$ , c’est un système de Cramer : il admet une unique solution.
Si $a=1$ et $b\neq 1$ il n’y a pas de solution (le système n’est pas compatible).
Si $a=1$ et $b=1$ il y a une infinité de solutions (qui forment un plan dans $\Rr^3$ ).
Si $a=-2$ et $b\neq -2$ il n’y a pas de solution.
Si $a=-2$ et $b=-2$ il y a une infinité de solutions (qui forment une droite dans $\Rr^3$ ).
Si $b=0$ il n’y a pas de solution.

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