Pour éviter d’avoir à diviser par \(a\) on réordonne nos lignes puis on applique la méthode du pivot : \[\left\{\begin{array}{ccccccll} x &+& by &+& az &=& 1 & _{L_1} \cr x &+& aby &+& z &=& b & _{L_2} \cr ax &+& by &+& z &=& 1 & _{L_3} \cr \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{ccccccll} x &+& by &+& az &=& 1 &_{L_1} \cr & & b(a-1)y &+& (1-a)z &=& b-1 & _{L_2 \leftarrow L_2-L_1} \cr && b(1-a)y &+& (1-a^2)z &=& 1-a & _{L_3 \leftarrow L_3-aL_1} \cr \end{array}\right.\] On fait ensuite \(L_3 \leftarrow L_3+L_2\) pour obtenir un système triangulaire équivalent au système initial : \[\left\{\begin{array}{ccccccl} x &+& by &+& az &=& 1 \cr & & b(a-1)y &+& (1-a)z &=& b-1 \cr && && (2-a-a^2)z &=& b-a \cr \end{array}\right.\] Nous allons maintenant discuter de l’existence des solutions. Remarquons d’abord que \(2-a-a^2= -(a-1)(a+2)\). Donc si \(a\neq 1\) et \(a\neq -2\) alors \(2-a-a^2\neq 0\) donc \(z=\frac{a-b}{(a-1)(a+2)}\). On a donc trouvé la valeur de \(z\). La deuxième ligne du système triangulaire est \(b(a-1)y + (1-a)z = b-1\) on sait déjà \(a-1\neq 0\). Si \(b\neq 0\) alors, en reportant la valeur de \(z\) obtenue, on trouve la valeur \(y= \frac{b-1 - (1-a)z}{b(a-1)}\). Puis avec la première ligne on en déduit aussi \(x=1-by-az\). Donc si \(a\neq 1\) et \(a \neq -2\) et \(b\neq 0\) alors il existe une unique solution \((x,y,z)\). Il faut maintenant s’occuper des cas particuliers. Si \(a=1\) alors notre système triangulaire devient : \[\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &+&z&=& 1 \cr & & & & 0 &=& b-1 \cr && && 0 &=& b-1 \cr \end{array}\right.\] Si \(b\neq 1\) il n’y a pas de solution. Si \(a=1\) et \(b=1\) alors il ne reste plus que l’équation \(x+y+z=1\). On choisit par exemple \(y,z\) comme paramètres, l’ensemble des solutions est \[\big\{(1-y-z,y,z) \mid y,z \in \Rr \big\}.\] Si \(a=-2\) alors le système triangulaire devient : \[\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &-& 2z &=& 1 \cr & & -3by &+& 3z &=& b-1 \cr && && 0 &=& b+2 \cr \end{array}\right.\] Donc si \(b\neq -2\) il n’y a pas de solution. Si \(a=-2\) et \(b=-2\) alors le système est \[\left\{\begin{array}{ccccccc} x &-& 2y &-& 2z &=& 1 \cr & & 2y &+& z &=& -1 \cr \end{array}\right.\] Si l’on choisit \(y\) comme paramètre alors il y a une infinité de solutions \[\big\{(-1-2y,y,-1-2y) \mid y \in \Rr \big\}.\] Enfin si \(b=0\) alors la deuxième et troisième ligne du système triangulaire sont : \((1-a)z =-1\) et \((2-a-a^2)z =-a\). Donc \(z=\frac{-1}{1-a}=\frac{-a}{2-a-a^2}\) (le sous-cas \(b=0\) et \(a=1\) n’a pas de solution). Dans tous les cas il n’y a pas de solution. Conclusion :

Si \(a\neq 1\) et \(a\neq -2\) et \(b\neq 0\), c’est un système de Cramer : il admet une unique solution. Si \(a=1\) et \(b\neq 1\) il n’y a pas de solution (le système n’est pas compatible). Si \(a=1\) et \(b=1\) il y a une infinité de solutions (qui forment un plan dans \(\Rr^3\)). Si \(a=-2\) et \(b\neq -2\) il n’y a pas de solution. Si \(a=-2\) et \(b=-2\) il y a une infinité de solutions (qui forment une droite dans \(\Rr^3\)). Si \(b=0\) il n’y a pas de solution.

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