Résolution de : $\left(\mathcal{S}_1\right)\left\{\begin{aligned} x+y+\lambda \cdot z & =\lambda \\ x+\lambda \cdot y-z & =1 \\ x+y-z & =1\end{aligned}\right.$ Calculons le déterminant associé à ce système :

- Pour $\lambda \in \mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}$ , par les formules de CRAMER : $\begin{aligned} & x=\frac{\left|\begin{array}{ccc} \mathcal{C}_1 & \mathcal{C}_2 & \mathcal{C}_3 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right|}=\frac{\left|\begin{array}{ccc} \mathcal{C}_1 - \mathcal{C}_3 & \mathcal{C}_2 & \mathcal{C}_3 \\ 2\lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right|}{-(\lambda-1)(\lambda+1)}=\frac{2 \lambda(-\lambda+1)}{-(\lambda-1)(\lambda+1)}=\frac{2 \lambda}{\lambda+1} \\ & y=\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right|}=\frac{0}{-(\lambda-1)(\lambda+1)} \operatorname{car} \ell_2=\ell_3 \\ & \end{aligned}$

La solution de $\left(\mathcal{S}_1\right)$ est : $\left(\frac{2 \lambda}{\lambda+1}, 0, \frac{\lambda-1}{\lambda+1}\right)$ .

- Pour $\lambda=1$ : $\left(\mathcal{S}_1\right)\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\ x+y-z=1 \\ x+y-z=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\ x+y-z=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}x+y=1 \\ z=0\end{array}\right.\right.\right.$ L’ensemble des solutions est : $\{(x, 1-x, 0) / x \in \mathbb{R}\}$

- Pour $\lambda=-1$ : $\left(\mathcal{S}_1\right)\left\{\begin{array}{l}x+y-z=-1 \\ x-y-z=1 \\ x+y-z=1\end{array} \quad \ell_1-\ell_3 \Leftrightarrow 0=-2\right.$ Impossible ! Résolution de : $\left(\mathcal{S}_2\right)\left\{\begin{aligned} x-2 y+m z & =-m-3 \\ y+z & =m+2 \\ 4 x+y+9 z & =5 m+6 \\ x+y+3 z & =2 m+3 \end{aligned}\right.$ Remarque : $\ell_3=4 \ell_4-3 \ell_2$ .

- Pour $m \in \mathbb{R}^*$ , par les formules de Cramer :

$\begin{aligned} x & =\frac{\left|\begin{array}{ccc} -m-3 & -2 & m \\ m+2 & 1 & 1 \\ 2 m+3 & 1 & 3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right|}=\frac{\left|\begin{array}{ccc} -m-1 & -2 & m \\ m+1 & 1 & 1 \\ 2 m+2 & 1 & 3 \end{array}\right|}{-m} \\ & =\frac{-m(m+1)}{-m} \\ & =m+1 \end{aligned}$

De même,

$y = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -m-3 & m \\ 0 & m+2 & 1 \\ 1 & 2 m+3 & 3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right|} =\frac{-m(m+2)}{-m} = m+2$

et enfin :

$z = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -m-3 \\ 0 & 1 & m+2 \\ 1 & 1 & 2 m+3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right|} =\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -m-3 \\ 0 & 1 & m+2 \\ 0 & 3 & 3 m+6 \end{array}\right|}{-m} =\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -m-3 \\ 0 & 1 & m+2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right|}{-m} =0$ La solution est : $\{(m+1, m+2,0)\}$ - Pour $m=0$ : $\left(\mathcal{S}_2\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { r l } { x - 2 y } & { = - 3 } \\ { y + z } & { = 2 } \\ { x + y + 3 z } & { = 3 } \end{array} \Leftrightarrow \quad \begin{array} { r l } { \ell _ { 1 } } \end{array} \left\{\begin{array} { r l } { x - 2 y } & { = - 3 } \\ { y + z } & { = 2 } \\ { 3 y + 3 z } & { = 6 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rl} x-2 y & =-3 \\ y+z & =2 \end{array}\right.\right.\right.$ L’ensemble des solutions est : $\{(1-2 z, 2-z, z) / z \in \mathbb{R}\}$ .

Résolution de système linéaire à paramètre