Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
1
Montrer que : \(\forall\ Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\), \({}^tYY = 0 \Leftrightarrow Y = 0\).
2
Montrer que : \(\forall\ X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\), \(BX = 0 \Leftrightarrow AX = 0\).
3
En déduire que \(\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B)\).
4
Trouver une matrice \(A \in \mathcal{M}_2(\C)\) telle que \(\mathrm{rg}(A) \ne \mathrm{rg}({}^t\!AA)\).