Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $L_0$ , $L_1$ ,…, $L_n$ les lignes du déterminant $\text{Van}(x_0,\ldots,x_n)$

A la ligne numéro $n$ du déterminant $\text{Van}(x_0,\ldots,x_n)$ , on ajoute une combinaison linéaire des lignes précédentes du type $L_{n}\leftarrow L_{n}+\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_iL_i$ . La valeur du déterminant n’a pas changé mais sa dernière ligne s’écrit maintenant $(P(x_0),...,P(x_n))$ où $P$ est un polynôme unitaire de degré $n$ . On choisit alors pour $P$ (le choix des $\lambda_i$ équivaut au choix de $P$ ) le polynôme $P=\prod_{i=0}^{n-1}(X-x_i)$ (qui est bien unitaire de degré $n$ ). La dernière ligne s’écrit alors $(0,...,0,P(x_{n+1}))$ et en développant ce déterminant suivant cette dernière ligne, on obtient la relation de récurrence :

$\forall n\in\Nn^*,\;\text{Van}(x_0,\ldots,x_n)=P(x_n)\text{Van}(x_0,\ldots,x_{n-1})=\prod_{i=0}^{n-1}(x_n-x_i)\text{Van}(x_0,\ldots,x_{n-1})$ .

En tenant compte de $\text{Van}(x_0)=1$ , on obtient donc par récurrence

$\forall n\in\Nn^*,\;\forall(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}\in\Kk^n,\;\text{Van}(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n-1}=\prod_{0\leqslant i<j\leqslant n-1}^{}(x_j-x_i)$ .

En particulier, $\text{Van}(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n-1}\neq 0$ si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts.

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