Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(L_0\), \(L_1\),…, \(L_n\) les lignes du déterminant \(\text{Van}(x_0,\ldots,x_n)\)

A la ligne numéro \(n\) du déterminant \(\text{Van}(x_0,\ldots,x_n)\), on ajoute une combinaison linéaire des lignes précédentes du type \(L_{n}\leftarrow L_{n}+\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_iL_i\). La valeur du déterminant n’a pas changé mais sa dernière ligne s’écrit maintenant \((P(x_0),...,P(x_n))\) où \(P\) est un polynôme unitaire de degré \(n\). On choisit alors pour \(P\) (le choix des \(\lambda_i\) équivaut au choix de \(P\)) le polynôme \(P=\prod_{i=0}^{n-1}(X-x_i)\) (qui est bien unitaire de degré \(n\)). La dernière ligne s’écrit alors \((0,...,0,P(x_{n+1}))\) et en développant ce déterminant suivant cette dernière ligne, on obtient la relation de récurrence :

\(\forall n\in\Nn^*,\;\text{Van}(x_0,\ldots,x_n)=P(x_n)\text{Van}(x_0,\ldots,x_{n-1})=\prod_{i=0}^{n-1}(x_n-x_i)\text{Van}(x_0,\ldots,x_{n-1})\).

En tenant compte de \(\text{Van}(x_0)=1\), on obtient donc par récurrence

En particulier, \(\text{Van}(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n-1}\neq 0\) si et seulement si les \(x_i\) sont deux à deux distincts.

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