1ère solution.

$\begin{align*}\ensuremath \text{det}B&=\sum_{\sigma\in S_n}^{}\varepsilon(\sigma)b_{\sigma(1),1}...b_{\sigma(n),n}=\sum_{\sigma\in S_n}^{}\varepsilon(\sigma)(-1)^{1+2+...+n+\sigma(1)+...+\sigma(n)}a_{\sigma(1),1}...a_{\sigma(n),n}\\ &=\sum_{\sigma\in S_n}^{}\varepsilon(\sigma)(-1)^{2(1+2+...+n)}a_{\sigma(1),1}...a_{\sigma(n),n}=\sum_{\sigma\in S_n}^{}\varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}...a_{\sigma(n),n}\\ &=\text{det}A. \end{align*}$

2ème solution. On multiplie les lignes numéros $2$ , $4$ ,... de $B$ par $-1$ puis les colonnes numéros $2$ , $4$ ,... de la matrice obtenue par $-1$ . On obtient la matrice $A$ qui se déduit donc de la matrice $B$ par multiplication des lignes ou des colonnes par un nombre pair de $-1$ (puisqu’il y a autant de lignes portant un numéro pair que de colonnes portant un numéro pair). Par suite, $\text{det}(B)=\text{det}(A)$ .

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