Soit $(k,l)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ . Le coefficient ligne $k$ , colonne $l$ de $P^2$ est

$\alpha_{k,l}=\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k-1)(u-1)}\omega^{(u-1)(l-1)}=\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k+l-2)(u-1)}=\sum_{u=0}^{n-1}(\omega^{k+l-2})^u.$

Or, $\omega^{k+l-2}=1\Leftrightarrow k+l-2\in n\Zz$ . Mais, $0\leq k+l-2\leq 2n-2<2n$ et donc, $k+l-2\in n\Zz\Leftrightarrow k+l-2\in\{0,n\}\Leftrightarrow k+l=2\;\mbox{ou}\;k+l=n+2$ . Dans ce cas, $\alpha_{k,l}=n$ . Sinon,

$\alpha_{k,l}=\frac{1-(\omega^{k+l-2})^n}{1-\omega^{k+l-2}}=\frac{1-1}{1-\omega^{k+l-2}}=0.$ Ainsi, $P^2=n\left( \begin{array}{ccccc} 1&0&\ldots&\ldots&0\\ 0& & &0&1\\ \vdots& &0&1&0\\ & & & & \\ 0&1&0&\ldots&0 \end{array} \right)$ . Soit $(k,l)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ . Le coefficient ligne $k$ , colonne $l$ de $P\overline{P}$ est

$\beta_{k,l}=\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k-1)(u-1)}\omega^{-(u-1)(l-1)}=\sum_{u=1}^{n}(\omega^{k-l})^{u-1}.$ Or, $\omega^{k-l}=1\Leftrightarrow k-l\in n\Zz$ . Mais, $-n<-(n-1)\leq k-l\leq n-1<n$ et donc $k-l\in n\Zz\Leftrightarrow k=l$ . Dans ce cas, $\beta_{k,l}=n$ . Sinon, $\beta_{k,l}=0$ . Ainsi, $P\overline{P}=nI_n$ (ce qui montre que $P\in GL_n(\Cc)$ et $P^{-1}=\frac{1}{n}\overline{P}$ ). Calculons enfin $PA$ . Il faut d’abord écrire proprement les coefficients de $A$ . Le coefficient ligne $k$ , colonne $l$ de $A$ peut s’écrire $a_{l-k+1}$ si l’on adopte la convention commode $a_{n+1}=a_1$ , $a_{n+2}=a_2$ et plus généralement pour tout entier relatif $k$ , $a_{n+k}=a_k$ . Avec cette convention d’écriture, le coefficient ligne $k$ , colonne $l$ de $PA$ vaut

$\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k-1)(u-1)}a_{l-u+1}=\sum_{v=l-n+1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v.$ Puis on réordonne cette somme pour qu’elle commence par $a_1$ .

$\begin{align*}\ensuremath \sum_{v=l-n+1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v&=\sum_{v=1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v +\sum_{v=l-n+1}^{0}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v\\ &=\sum_{v=1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v+\sum_{w=l+1}^{n}\omega^{(k-1)(l-w+n)}a_{w+n}\;(\mbox{en posant}\;w=v+n)\\ &=\sum_{v=1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v+\sum_{w=l+1}^{n}\omega^{(k-1)(l-w)}a_{w}\\ &=\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v=\omega^{(k-1)(l-1)}\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(1-v)}a_v \end{align*}$ (le point clé du calcul précédent est que les suites $(a_k)$ et $(\omega^k)$ ont la même période $n$ ce qui s’est traduit par $\omega^{(k-1)(l-w+n)}a_{w+n}=\omega^{(k-1)(l-v)}a_v$ ). Pour $k$ élément de $\llbracket1,n\rrbracket$ , posons alors $S_k=\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(1-v)}a_v$ . On a montré que $PA=(\omega^{(k-1)(l-1)}S_k)_{1\leq k,l\leq n}$ .

Par linéarité par rapport à chaque colonne, on a alors

$\mbox{det}(PA)=\mbox{det}(\omega^{(k-1)(l-1)}S_k)_{1\leq k,l\leq n}=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\times\mbox{det}(\omega^{(k-1)(l-1)})_{1\leq k,l\leq n}=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\times\mbox{det}P$ .

Donc $(\mbox{det}P)(\mbox{det}A)=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\mbox{det}P$ et finalement, puisque $\mbox{det}P\neq0$ ,

$\mbox{det}A=\prod_{k=1}^{n}\left(\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(1-v)}a_v\right).$

Par exemple, pour $n=3$ , $\mbox{det}A=(a_1+a_2+a_3)(a_1+ja_2+j^2a_3)(a_1+j^2a_2+ja_3)$ .

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