Soit \((k,l)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\). Le coefficient ligne \(k\), colonne \(l\) de \(P^2\) est

\[\alpha_{k,l}=\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k-1)(u-1)}\omega^{(u-1)(l-1)}=\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k+l-2)(u-1)}=\sum_{u=0}^{n-1}(\omega^{k+l-2})^u.\]

Or, \(\omega^{k+l-2}=1\Leftrightarrow k+l-2\in n\Zz\). Mais, \(0\leq k+l-2\leq 2n-2<2n\) et donc, \(k+l-2\in n\Zz\Leftrightarrow k+l-2\in\{0,n\}\Leftrightarrow k+l=2\;\mbox{ou}\;k+l=n+2\). Dans ce cas, \(\alpha_{k,l}=n\). Sinon,

\[\alpha_{k,l}=\frac{1-(\omega^{k+l-2})^n}{1-\omega^{k+l-2}}=\frac{1-1}{1-\omega^{k+l-2}}=0.\] Ainsi, \(P^2=n\left( \begin{array}{ccccc} 1&0&\ldots&\ldots&0\\ 0& & &0&1\\ \vdots& &0&1&0\\ & & & & \\ 0&1&0&\ldots&0 \end{array} \right)\). Soit \((k,l)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\). Le coefficient ligne \(k\), colonne \(l\) de \(P\overline{P}\) est

\[\beta_{k,l}=\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k-1)(u-1)}\omega^{-(u-1)(l-1)}=\sum_{u=1}^{n}(\omega^{k-l})^{u-1}.\] Or, \(\omega^{k-l}=1\Leftrightarrow k-l\in n\Zz\). Mais, \(-n<-(n-1)\leq k-l\leq n-1<n\) et donc \(k-l\in n\Zz\Leftrightarrow k=l\). Dans ce cas, \(\beta_{k,l}=n\). Sinon, \(\beta_{k,l}=0\). Ainsi, \(P\overline{P}=nI_n\) (ce qui montre que \(P\in GL_n(\Cc)\) et \(P^{-1}=\frac{1}{n}\overline{P}\)). Calculons enfin \(PA\). Il faut d’abord écrire proprement les coefficients de \(A\). Le coefficient ligne \(k\), colonne \(l\) de \(A\) peut s’écrire \(a_{l-k+1}\) si l’on adopte la convention commode \(a_{n+1}=a_1\), \(a_{n+2}=a_2\) et plus généralement pour tout entier relatif \(k\), \(a_{n+k}=a_k\). Avec cette convention d’écriture, le coefficient ligne \(k\), colonne \(l\) de \(PA\) vaut

\[\sum_{u=1}^{n}\omega^{(k-1)(u-1)}a_{l-u+1}=\sum_{v=l-n+1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v.\] Puis on réordonne cette somme pour qu’elle commence par \(a_1\).

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{v=l-n+1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v&=\sum_{v=1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v +\sum_{v=l-n+1}^{0}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v\\ &=\sum_{v=1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v+\sum_{w=l+1}^{n}\omega^{(k-1)(l-w+n)}a_{w+n}\;(\mbox{en posant}\;w=v+n)\\ &=\sum_{v=1}^{l}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v+\sum_{w=l+1}^{n}\omega^{(k-1)(l-w)}a_{w}\\ &=\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(l-v)}a_v=\omega^{(k-1)(l-1)}\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(1-v)}a_v \end{align*}\] (le point clé du calcul précédent est que les suites \((a_k)\) et \((\omega^k)\) ont la même période \(n\) ce qui s’est traduit par \(\omega^{(k-1)(l-w+n)}a_{w+n}=\omega^{(k-1)(l-v)}a_v\)). Pour \(k\) élément de \(\llbracket1,n\rrbracket\), posons alors \(S_k=\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(1-v)}a_v\). On a montré que \(PA=(\omega^{(k-1)(l-1)}S_k)_{1\leq k,l\leq n}\).

Par linéarité par rapport à chaque colonne, on a alors

\(\mbox{det}(PA)=\mbox{det}(\omega^{(k-1)(l-1)}S_k)_{1\leq k,l\leq n}=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\times\mbox{det}(\omega^{(k-1)(l-1)})_{1\leq k,l\leq n}=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\times\mbox{det}P\).

Donc \((\mbox{det}P)(\mbox{det}A)=\left(\prod_{k=1}^{n}S_k\right)\mbox{det}P\) et finalement, puisque \(\mbox{det}P\neq0\),

Par exemple, pour \(n=3\), \(\mbox{det}A=(a_1+a_2+a_3)(a_1+ja_2+j^2a_3)(a_1+j^2a_2+ja_3)\).

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