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Soient $a,b,c$ trois réels et $\Delta_{n}$ le déterminant de taille $n$ suivant : $\Delta_{n}=\left\vert \begin{array}{cccc} a & b & & 0 \\[-1ex] c & \ddots & \ddots & \\[-2ex] & \ddots & \ddots & b \\[-1ex] 0 & & c & a \\ \end{array} \right\vert$

On pose $\Delta_{0}=1$ , $\Delta_{1}=a$ . Montrer que $\forall n\in\N, \Delta_{n+2}=a\Delta_{n+1}-bc\Delta_{n}$ .

On suppose que $a^{2}=4bc$ . Montrer par récurrence que : $\forall n\in\N, \Delta_{n}=(n+1)\,\frac{a^{n}}{2^{n}}$