Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : \[\Delta_{n}=\left\vert \begin{array}{c@{\ }c@{}c@{\ }c} a & b & & 0 \\[-1ex] c & \ddots & \ddots & \\[-2ex] & \ddots & \ddots & b \\[-1ex] 0 & & c & a \\ \end{array} \right\vert\]
1
On pose \(\Delta_{0}=1\), \(\Delta_{1}=a\). Montrer que \(\forall n\in\N, \Delta_{n+2}=a\Delta_{n+1}-bc\Delta_{n}\).
2
On suppose que \(a^{2}=4bc\). Montrer par récurrence que : \[\forall n\in\N, \Delta_{n}=(n+1)\,\frac{a^{n}}{2^{n}}\]