On considère l’espace \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées \(n\times n\) à coefficients dans le corps \(\mathbb{K}\). On rappelle que la trace \(\mathrm{tr}(A)\) d’une matrice \(A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) est la somme de ses coefficients diagonaux.
Pour une matrice \(M\) donnée, on note \(\alpha_{M}\) l’application définie par \[\forall X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\quad \alpha_{M}(X)=\mathrm{tr}(MX).\]
Vérifier que \(\forall M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\quad \alpha_{M}\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*}\).
On note \(\phi\) l’application suivante : \[\phi : \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) & \rightarrow & (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*} \\[3mm] M & \mapsto & \alpha_{M} \end{array}\]
Etudier l’injectivité et la surjectivité de \(\phi\).
En déduire que pour toute forme linéaire \(\alpha\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*}\), il existe une matrice \(A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) telle que : \[\forall X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\quad \alpha(X)=\mathrm{tr}(AX).\]
Déterminer toute les formes linéaires \(\alpha\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*}\) telles que \[\forall (X,Y)\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2},\quad \alpha(XY)=\alpha(YX).\]