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On considère l’espace $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ des matrices carrées $n\times n$ à coefficients dans le corps $\mathbb{K}$ . On rappelle que la trace $\mathrm{tr}(A)$ d’une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est la somme de ses coefficients diagonaux.

Pour une matrice $M$ donnée, on note $\alpha_{M}$ l’application définie par $\forall X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\quad \alpha_{M}(X)=\mathrm{tr}(MX).$

Vérifier que $\forall M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\quad \alpha_{M}\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*}$ .

On note $\phi$ l’application suivante : $\phi : \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) & \rightarrow & (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*} \\[3mm] M & \mapsto & \alpha_{M} \end{array}$

Etudier l’injectivité et la surjectivité de $\phi$ .

En déduire que pour toute forme linéaire $\alpha\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*}$ , il existe une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que : $\forall X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\quad \alpha(X)=\mathrm{tr}(AX).$

Déterminer toute les formes linéaires $\alpha\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{*}$ telles que $\forall (X,Y)\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2},\quad \alpha(XY)=\alpha(YX).$

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