\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
1
On considère l’élément de \(\mathcal{S}_8\) : \[\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 5&6&4&1&2&8&3&7\end{pmatrix}.\] Décomposer \(\sigma\) en un produit de transpositions et calculer sa signature. Peut-on écrire \(\sigma\) comme produit de douze transpositions ?
2
Soit \(\sigma\) l’élément de \(\mathcal{S}_{11}\) : \[\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ 10&7&9&11&2&1&3&5&8&4&6 \end{pmatrix}.\] Décomposer \(\sigma\) en un produit de cycles à support disjoints. Préciser l’ordre de \(\sigma\), et la signature de \(\sigma\). Calculer \(\sigma^2\) et \(\sigma^3\). Écrire \(\sigma^{-1}\) en un produit de cycles à support disjoints.