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On considère l’élément de $\mathcal{S}_8$ : $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 5&6&4&1&2&8&3&7\end{pmatrix}.$$ Décomposer $\sigma$ en un produit de transpositions et calculer sa signature. Peut-on écrire $\sigma$ comme produit de douze transpositions ?

Soit $\sigma$ l’élément de $\mathcal{S}_{11}$ : $$\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ 10&7&9&11&2&1&3&5&8&4&6 \end{pmatrix}.$$ Décomposer $\sigma$ en un produit de cycles à support disjoints. Préciser l’ordre de $\sigma$, et la signature de $\sigma$. Calculer $\sigma^2$ et $\sigma^3$. Écrire $\sigma^{-1}$ en un produit de cycles à support disjoints.