1
Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^3q\) (avec \(p\) premier et \(q\) premier avec \(p\)) admet un sous-groupe d’ordre \(p\), un d’ordre \(p^2\) et un d’ordre \(p^3\).
2
Donner la liste des éléments du groupe alterné \(\mathcal{A}_4\). Soit \(H\) un sous-groupe d’ordre \(3\) de \(\mathcal{A}_4\) et \(\sigma\) un élément de \(\mathcal{A}_4\) qui n’est pas dans \(H\). Montrer que le sous-groupe engendré par \(H\) et \(\sigma\) est le groupe \(\mathcal{A}_4\). En déduire que \(\mathcal{A}_4\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(6\).