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Montrer qu’un groupe d’ordre $p^3q$ (avec $p$ premier et $q$ premier avec $p$) admet un sous-groupe d’ordre $p$, un d’ordre $p^2$ et un d’ordre $p^3$.

Donner la liste des éléments du groupe alterné $\mathcal{A}_4$. Soit $H$ un sous-groupe d’ordre $3$ de $\mathcal{A}_4$ et $\sigma$ un élément de $\mathcal{A}_4$ qui n’est pas dans $H$. Montrer que le sous-groupe engendré par $H$ et $\sigma$ est le groupe $\mathcal{A}_4$. En déduire que $\mathcal{A}_4$ n’a pas de sous-groupe d’ordre $6$.