Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et \(u\in \mathcal{L} (E)\) tel que \(u^2=u\). On définit \[{\Rr[u]:=\left\{P(u):P\in\Rr[X]\right\}.}\]
1
Montrer que, muni des lois usuelles sur \(\mathcal{L}(E)\), c’est une \(\Rr\)-algèbre.
2
Montrer que cette algèbre est de dimension finie et discuter de sa dimension en fonction de \(u\).
3
L’anneau \(\Rr[u]\) est-il un corps ?