On pose
\(A = \left\{ f : \R \to \R
\text{ de la forme } f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx),\ n \in
\N,\ a_i \in \R \right\}\).
1
Montrer que \(A\) est un sous-anneau de \(\R^\R\).
2
Soit \(f\in A\). Montrer que si \(f = 0\), alors les coefficients \(a_k\) sont tous nuls \(\left({\text{calculer } \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\cos(nt)\,d t}\right)\).
3
En déduire que \(A\) est intègre.