1
Soit \(d \in \N\). On pose \[A_d = \{(x,y) \in \Z^2 \text{ tq } x\equiv y (\mathrm{mod}\, d)\}\] (\(x=y\) pour \(d=0\)). Montrer que \(A_d\) est un sous-anneau de \(\Z^2\).
2
Montrer que l’on obtient ainsi tous les sous-anneaux de \(\Z^2\).
3
Soit \(I\) un idéal de \(\Z^2\). On note : \(\begin{cases} I_1 = \{ x \in \Z \text{ tq } (x,0) \in I \}\cr I_2 = \{ y \in \Z \text{ tq } (0,y) \in I \}.\end{cases}\)
Montrer que \(I_1\) et \(I_2\) sont des idéaux de \(\Z\), et que \(I = I_1 \times I_2\).
4
En déduire que \(I\) est un idéal principal.