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Soit $d \in \N$. On pose $$A_d = \{(x,y) \in \Z^2 \text{ tq } x\equiv y (\mathrm{mod}\, d)\}$$ ($x=y$ pour $d=0$). Montrer que $A_d$ est un sous-anneau de $\Z^2$.

Montrer que l’on obtient ainsi tous les sous-anneaux de $\Z^2$.

Soit $I$ un idéal de $\Z^2$. On note : $\begin{cases} I_1 = \{ x \in \Z \text{ tq } (x,0) \in I \}\cr I_2 = \{ y \in \Z \text{ tq } (0,y) \in I \}.\end{cases}$

Montrer que $I_1$ et $I_2$ sont des idéaux de $\Z$, et que $I = I_1 \times I_2$.

En déduire que $I$ est un idéal principal.