Soit $a\neq\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ . 1ère méthode. $a$ est bien sûr racine de l’équation proposée, ce qui permet d’écrire :

$\begin{align*} \frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}&\Leftrightarrow(3x-x^3)(1-3a^2)=(1-3x^2)(3a-a^3)\;(\mbox{car}\;\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \;\mbox{ne sont pas solution de l'équation})\\ &\Leftrightarrow(x-a)((3a^2-1)x^2+8ax-a^2+3)=0. \end{align*}$ Le discriminant réduit du trinôme $(3a^2-1)x^2+8ax-a^2+3$ vaut :

$\Delta'=16a^2-(3a^2-1)(-a^2+3)=3a^4+6a^2+3=(\sqrt{3}(a^2+1))^2>0.$ L’équation proposée a donc trois racines réelles :

$\mathcal{S}=\left\{a,\frac{4a-\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2},\frac{4a+\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2}\right\}.$

2ème méthode. Il existe un unique réel $\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right\}$ tel que $a=\tan\alpha$ . De même, si $x$ est un réel distinct de $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ , il existe un unique réel $\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right\}$ tel que $x=\tan\theta$ (à savoir $\alpha=\Arctan a$ et $\theta=\arctan x$ ). Comme $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ ne sont pas solution de l’équation proposée, on a :

$\begin{align*} \frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}&\Leftrightarrow\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} =\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\Leftrightarrow\tan(3\theta)=\tan(3\alpha)\\ &\Leftrightarrow3\theta\in3\alpha+\pi\Zz\Leftrightarrow\theta\in\alpha+\frac{\pi}{3}\Zz. \end{align*}$ Ceci refournit les solutions $x=\tan\alpha=a$ , puis

$\begin{align*} x &= \tan\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \\ &= \frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{3}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{a+\sqrt{3}}{1 -\sqrt{3}a} \\ &= \frac{(a+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}a)}{1-3a^2} \\ &= \frac{4a+\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2}, \end{align*}$ et $x=\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4a-\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2}$ .

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