Soit \(a\neq\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). 1ère méthode. \(a\) est bien sûr racine de l’équation proposée, ce qui permet d’écrire :

\[\begin{align*} \frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}&\Leftrightarrow(3x-x^3)(1-3a^2)=(1-3x^2)(3a-a^3)\;(\mbox{car}\;\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \;\mbox{ne sont pas solution de l'équation})\\ &\Leftrightarrow(x-a)((3a^2-1)x^2+8ax-a^2+3)=0. \end{align*}\] Le discriminant réduit du trinôme \((3a^2-1)x^2+8ax-a^2+3\) vaut :

\[\Delta'=16a^2-(3a^2-1)(-a^2+3)=3a^4+6a^2+3=(\sqrt{3}(a^2+1))^2>0.\] L’équation proposée a donc trois racines réelles :

2ème méthode. Il existe un unique réel \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right\}\) tel que \(a=\tan\alpha\). De même, si \(x\) est un réel distinct de \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\), il existe un unique réel \(\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right\}\) tel que \(x=\tan\theta\) (à savoir \(\alpha=\Arctan a\) et \(\theta=\arctan x\)). Comme \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) ne sont pas solution de l’équation proposée, on a :

\[\begin{align*} \frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}&\Leftrightarrow\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} =\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\Leftrightarrow\tan(3\theta)=\tan(3\alpha)\\ &\Leftrightarrow3\theta\in3\alpha+\pi\Zz\Leftrightarrow\theta\in\alpha+\frac{\pi}{3}\Zz. \end{align*}\] Ceci refournit les solutions \(x=\tan\alpha=a\), puis

\[x=\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{3}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{3}}=\frac{a+\sqrt{3}}{1 -\sqrt{3}a}=\frac{(a+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}a)}{1-3a^2}=\frac{4a+\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2},\] et \(x=\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4a-\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2}\).

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