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Etablir les formules d’Euler ($\theta \in \mathbb{R}$) : $$\begin{aligned} \cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\;\mbox{ et }\; \sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. \end{aligned}$$

En utilisant les formules d’Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) ($a,\,b\in \mathbb{R}$) : $$\begin{aligned} 2\cos a \cos b \;\;\; ; \;\;\; 2\sin a \sin b \;\;\; ; \;\;\; \cos^2 a \;\;\; ; \;\;\; \sin^2 a. \end{aligned}$$

A l’aide de la formule : $e^{ix}e^{iy}=e^{i\left(x+y\right)}$ ($x,\,y\in\mathbb{R}$), retrouver celles pour $\sin(x+y)$, $\cos(x+y)$ et $\tan(x+y)$ en fonction de sinus, cosinus et tangente de $x$ ou de $y$; en déduire les formules de calcul pour $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ et $\tan (2x)$ ($x,\,y \in \mathbb{R}$).

Calculer $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de $\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$ ($x \ne \pi + 2k\pi\,,\; k \in \mathbb{Z}$).

Etablir la formule de Moivre ($\theta\in\mathbb{R}$) : $$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$

En utilisant la formule de Moivre, calculer $\cos(3x)$ et $\sin(3x)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$.