Pour tout réel \(x\), \(1-2k\cos x+k^2=(k-\cos x)^2+\sin^2x\geq0\). De plus,

\[1-2k\cos x+k^2=0\Rightarrow k-\cos x=\sin x=0\Rightarrow x\in\pi\Zz\;\mbox{et}\;k=\cos x\Rightarrow k\in\{-1,1\},\] ce qui est exclu. Donc,

\[\forall k\in\Rr\setminus\{-1,1\},\;\forall x\in\Rr,\;1-2k\cos x+k^2>0.\] \(f_k\) est donc définie sur \(\Rr\), dérivable sur \(\Rr\) en vertu de théorèmes généraux, impaire et \(2\pi\)-périodique. On l’étudie dorénavant sur \([0,\pi]\). Pour \(x\in[0,\pi]\), on a :

\[\begin{align*} f'_k(x)&=\cos x(1-2k\cos x+k^2)^{-1/2}-\frac{1}{2}\sin x(2k\sin x)(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(\cos x(1-2k\cos x+k^2)-k\sin^2x)\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(-k\cos^2x+(1+k^2)\cos x-k)\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k\cos x-1)(k-\cos x) \end{align*}\]

(si \(k=0\), \(f_k(x)=\sin x\)) Pour tout réel \(x\), \((1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k\cos x-1)<0\) et \(f_k'(x)\) est du signe de \(\cos x-k\).

\[\]

(car \(f_k(\Arccos k)=\frac{\sqrt{1-k^2}}{\sqrt{1-2k^2+k^2}}=1\)). [2ème cas : \(k>1\).] Pour tout réel \(x\), \((1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k-\cos x)>0\) et \(f_k'(x)\) est du signe de \(k\cos x-1\).

\[\]

(car \(f_k(\Arccos\frac{1}{k})=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}{\sqrt{1-2+k^2}}=\frac{1}{k}\)). [3ème cas : \(k<-1\).] Pour tout réel \(x\), \((1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k-\cos x)<0\) et \(f_k'(x)\) est du signe de \(1-k\cos x\).

\[\]

(car \(f_k(\Arccos\frac{1}{k})=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}{\sqrt{1-2+k^2}}=-\frac{1}{k}\)).

Pour \(k\in\Rr\setminus\{-1,1\}\), posons \(I_k=\int_{0}^{\pi}f_k(x)\;dx\).

Si \(k=0\), \(I_k=\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx=2\). Sinon,

\[\begin{align*} I_k&=\frac{1}{k}\int_{0}^{\pi}\frac{2k\sin x}{2\sqrt{1-2k\cos x+k^2}}\;dx=\frac{1}{k} \left[\sqrt{1-2k\cos x+k^2}\right]_0^\pi\\ &=\frac{1}{k}(\sqrt{1+2k+k^2}-\sqrt{1-2k+k^2})=\frac{1}{k}(|k+1|-|k-1|). \end{align*}\] Plus précisément, si \(k\in]-1,1[\setminus\{0\}\), \(I_k=\frac{1}{k}((1+k)-(1-k))=2\), ce qui reste vrai pour \(k=0\). Si \(k>1\), \(I_k=\frac{1}{k}((1+k)-(k-1))=\frac{2}{k}\), et enfin, si \(k<-1\), \(I_k=\frac{-2}{k}\). En résumé,

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