Pour tout réel $x$ , $1-2k\cos x+k^2=(k-\cos x)^2+\sin^2x\geq0$ . De plus,

$1-2k\cos x+k^2=0\Rightarrow k-\cos x=\sin x=0\Rightarrow x\in\pi\Zz\;\mbox{et}\;k=\cos x\Rightarrow k\in\{-1,1\},$ ce qui est exclu. Donc,

$\forall k\in\Rr\setminus\{-1,1\},\;\forall x\in\Rr,\;1-2k\cos x+k^2>0.$ $f_k$ est donc définie sur $\Rr$ , dérivable sur $\Rr$ en vertu de théorèmes généraux, impaire et $2\pi$ -périodique. On l’étudie dorénavant sur $[0,\pi]$ . Pour $x\in[0,\pi]$ , on a :

$\begin{align*} f'_k(x)&=\cos x(1-2k\cos x+k^2)^{-1/2}-\frac{1}{2}\sin x(2k\sin x)(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(\cos x(1-2k\cos x+k^2)-k\sin^2x)\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(-k\cos^2x+(1+k^2)\cos x-k)\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k\cos x-1)(k-\cos x) \end{align*}$

$\forall x\in\Rr,\;f_k'(x)=\frac{(k\cos x-1)(k-\cos x)}{(1-2k\cos x+k^2)^{3/2}}.$

1er cas : $|k|<1$ et $k\neq0$ . (si $k=0$ , $f_k(x)=\sin x$ ) Pour tout réel $x$ , $(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k\cos x-1)<0$ et $f_k'(x)$ est du signe de $\cos x-k$ .

\[\]

(car $f_k(\Arccos k)=\frac{\sqrt{1-k^2}}{\sqrt{1-2k^2+k^2}}=1$ ).
2ème cas : $k>1$ . Pour tout réel $x$ , $(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k-\cos x)>0$ et $f_k'(x)$ est du signe de $k\cos x-1$ .

\[\]

(car $f_k(\Arccos\frac{1}{k})=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}{\sqrt{1-2+k^2}}=\frac{1}{k}$ ).
3ème cas : $k<-1$ . Pour tout réel $x$ , $(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k-\cos x)<0$ et $f_k'(x)$ est du signe de $1-k\cos x$ .

\[\]

(car $f_k(\Arccos\frac{1}{k})=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}{\sqrt{1-2+k^2}}=-\frac{1}{k}$ ).

Pour $k\in\Rr\setminus\{-1,1\}$ , posons $I_k=\int_{0}^{\pi}f_k(x)\;dx$ .

Si $k=0$ , $I_k=\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx=2$ . Sinon,

$\begin{align*} I_k&=\frac{1}{k}\int_{0}^{\pi}\frac{2k\sin x}{2\sqrt{1-2k\cos x+k^2}}\;dx=\frac{1}{k} \left[\sqrt{1-2k\cos x+k^2}\right]_0^\pi\\ &=\frac{1}{k}(\sqrt{1+2k+k^2}-\sqrt{1-2k+k^2})=\frac{1}{k}(|k+1|-|k-1|). \end{align*}$ Plus précisément, si $k\in]-1,1[\setminus\{0\}$ , $I_k=\frac{1}{k}((1+k)-(1-k))=2$ , ce qui reste vrai pour $k=0$ . Si $k>1$ , $I_k=\frac{1}{k}((1+k)-(k-1))=\frac{2}{k}$ , et enfin, si $k<-1$ , $I_k=\frac{-2}{k}$ . En résumé,

$\mbox{Si}\;k\in]-1,1[,\;I_k=2\;\mbox{et si}\;k\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[,\;I_k=\frac{2}{|k|}.$

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