Soit $n\in\Nn^*$ . Puisque $a$ est dans $]0,\pi[$ alors, pour tout entier naturel non nul $k$ , $\frac{a}{2^k}$ est dans $]0,\pi[$ et donc $\sin\frac{a}{2^k}\neq0$ . De plus, puisque $\sin\left(\frac{a}{2^{k-1}}\right)=\sin\left(2\times\frac{a}{2^k}\right)=2\sin\left(\frac{a}{2^k}\right)\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)$ , on a :

$\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)=\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin\left(\frac{a}{2^{k-1}}\right)}{2\sin\left(\frac{a}{2^k}\right)}=\frac{1}{2^{ n}} \frac{\sin(a)\sin\left(\frac{a}{2}\right)\ldots\sin\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)} {\sin\left(\frac{a}{2}\right)\ldots\sin\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)\sin\left(\frac{a}{2^{n}}\right)}=\frac{\sin a}{2^{n}\sin\frac{a}{2^n}}.$

$\forall a\in]0,\pi[$ , $\forall n\in\Nn^*$ , $\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)=\frac{\sin a}{2^{n}\sin\frac{a}{2^n}}$ .

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