$\cos(3x)=\Re(e^{3ix})=\Re((\cos x+i\sin x)^3)=\cos^3x-3\cos x\sin^2x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3x-3\cos x$ .

$\forall x\in\Rr,\;\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x.$

Par suite,

$\begin{align*} \cos(3x)=\sin(2x)&\Leftrightarrow4\cos^3x-3\cos x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow\cos x(4\cos^2x-3-2\sin x)=0\\ &\Leftrightarrow\cos x(-4\sin^2x-2\sin x+1)=0\Leftrightarrow(\cos x=0)\;\mbox{ou}\;(4\sin^2x+2\sin x-1=0). \end{align*}$ D’après 1), l’équation $4\sin^2x+2\sin x-1=0$ admet entre autre pour solutions $\frac{\pi}{10}$ et $\frac{13\pi}{10}$ (car, dans chacun des deux cas, $\cos x\neq0$ ), ou encore, l’équation $4X^2+2X-1=0$ admet pour solutions les deux nombres distincts $X_1=\sin\frac{\pi}{10}$ et $X_2=\sin\frac{13\pi}{10}$ , qui sont donc les deux solutions de cette équation. Puisque $X_1>0$ et que $X_2<0$ , on obtient

$X_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\;\mbox{et}\;X_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}.$ Donc, (puisque $\sin\frac{13\pi}{10}=-\sin\frac{3\pi}{10}$ ),

$\sin\frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\;\mbox{et}\;\sin\frac{3\pi}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$

Ensuite, $\sin\frac{3\pi}{10}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\frac{\pi}{5}$ , et donc

$\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$

Puis

$\cos\frac{\pi}{10}=\sqrt{1-\sin^2\frac{\pi}{10}}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$

et de même

$\sin\frac{\pi}{5}=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}=\cos\frac{3\pi}{10}$ .

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