\(\cos(3x)=\Re(e^{3ix})=\Re((\cos x+i\sin x)^3)=\cos^3x-3\cos x\sin^2x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3x-3\cos x\).

Par suite,

\[\begin{align*} \cos(3x)=\sin(2x)&\Leftrightarrow4\cos^3x-3\cos x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow\cos x(4\cos^2x-3-2\sin x)=0\\ &\Leftrightarrow\cos x(-4\sin^2x-2\sin x+1)=0\Leftrightarrow(\cos x=0)\;\mbox{ou}\;(4\sin^2x+2\sin x-1=0). \end{align*}\] D’après 1), l’équation \(4\sin^2x+2\sin x-1=0\) admet entre autre pour solutions \(\frac{\pi}{10}\) et \(\frac{13\pi}{10}\) (car, dans chacun des deux cas, \(\cos x\neq0\)), ou encore, l’équation \(4X^2+2X-1=0\) admet pour solutions les deux nombres distincts \(X_1=\sin\frac{\pi}{10}\) et \(X_2=\sin\frac{13\pi}{10}\), qui sont donc les deux solutions de cette équation. Puisque \(X_1>0\) et que \(X_2<0\), on obtient

\[X_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\;\mbox{et}\;X_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}.\] Donc, (puisque \(\sin\frac{13\pi}{10}=-\sin\frac{3\pi}{10}\)),

Ensuite, \(\sin\frac{3\pi}{10}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\frac{\pi}{5}\), et donc

Puis

et de même

.

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