Nous avons par la formule de Moivre \[\cos5\theta+i\sin5\theta=e^{i5\theta}=(e^{i\theta})^5= (\cos\theta+i\sin\theta)^5.\] On développe ce dernier produit, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires. On obtient : \[\begin{aligned} \cos 5\theta & = & \cos^5\theta -10\cos^3\theta \sin^2\theta +5\cos\theta \sin^4\theta\\ \sin 5\theta & = & 5\cos^4\theta \sin \theta -10\cos^2\theta \sin^3\theta +\sin^5\theta \end{aligned}\]

Remarque : Grâce à la formule \(\cos^2\theta +\sin^2\theta =1\), on pourrait continuer les calculs et exprimer \(\cos 5\theta\) en fonction de \(\cos\theta\), et \(\sin 5\theta\) en fonction de \(\sin\theta\).

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