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Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et \(M\) un point de \(H\). Montrer que le cercle de centre \(M\) qui passe par le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\) recoupe \(H\) en trois points qui sont les sommets d’un triangle équilatéral.
Indications : en choisissant un repère adéquat, \(H\) a une équation du type \(xy=1\), autrement dit en identifiant le plan de \(H\) au plan complexe, \(z^2-\bar z^2=4i\). En notant \(a\) l’affixe de \(M\), le cercle a pour équation \(\vert z-a\vert^2=4a\bar a\). On pose \(Z=z-a\) et on élimine \(\bar Z\) entre les équations du cercle et de l’hyperbole. En divisant par \(Z+2a\) pour éliminer la solution déjà connue du symétrique de \(M\), on obtient une équation du type \(Z^3-A=0\).