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Soit $H$ une hyperbole équilatère de centre $O$, et $M$ un point de $H$. Montrer que le cercle de centre $M$ qui passe par le symétrique de $M$ par rapport à $O$ recoupe $H$ en trois points qui sont les sommets d’un triangle équilatéral.

Indications : en choisissant un repère adéquat, $H$ a une équation du type $xy=1$, autrement dit en identifiant le plan de $H$ au plan complexe, $z^2-\bar z^2=4i$. En notant $a$ l’affixe de $M$, le cercle a pour équation $\vert z-a\vert^2=4a\bar a$. On pose $Z=z-a$ et on élimine $\bar Z$ entre les équations du cercle et de l’hyperbole. En divisant par $Z+2a$ pour éliminer la solution déjà connue du symétrique de $M$, on obtient une équation du type $Z^3-A=0$.