Soit \(M_1M_2M_3M_4\) un parallélogramme direct du plan, de centre \(O\), et \(A\) un point quelconque du plan. On considère \(B\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(M_1\), \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(M_2\), \(D\) le symétrique de \(C\) par rapport à \(M_3\) et \(E\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(M_4\).
Montrer que \(E=A\).
Montrer que si \(z\) et \(z'\) sont deux complexes, alors \(|z+z'|+|z-z'|\geq 2|z|\).
On fixe un repère orthonormé direct de centre \(O\). Exprimer \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) puis le périmètre de \(ABCD\) en fonction de \(m_1\), \(m_2\) et de \(t=a-m_1+m_2\).
On fait maintenant varier le point \(A\). Montrer que le périmètre du quadrilatère \(ABCD\) est minimal lorsque \(AM_1OM_4\) est un parallélogramme.