Pour $x\in[0,\pi]$ , posons $f(x)=\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)$ .

$\begin{align*} f(x)\;\mbox{existe}&\Leftrightarrow\tan x,\;\tan(2x),\;\tan(3x)\;\mbox{et}\;\tan(4x)\;\mbox{existent}\\ &\Leftrightarrow(x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(2x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(3x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\;\mbox{et}\; (4x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\\ &\Leftrightarrow(x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(x\notin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Zz),\;(x\notin\frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3}\Zz)\;\mbox{et}\;(x\notin\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\Zz)\\ &\Leftrightarrow x\notin\left\{\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{8}\right\}. \end{align*}$ $f$ est définie et continue sur

$\left[0,\frac{\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6}\right[\cup\left]\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right[\cup\left]\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{7\pi}{8},\pi\right].$ Sur chacun des dix intervalles précédents, $f$ est définie, continue et strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes. La restriction de $f$ à chacun de ces dix intervalles est donc bijective de l’intervalle considéré sur l’intervalle image, ce qui montre déjà que l’équation proposée, que l’on note dorénavant $(E)$ , a au plus une solution par intervalle et donc au plus dix solutions dans $[0,\pi]$ . Sur $I=\left[0,\frac{\pi}{8}\right[$ ou $I=\left]\frac{7\pi}{8},\pi\right]$ , puisque $f(0)=f(\pi)=0$ , $(E)$ a exactement une solution dans $I$ . Ensuite, dans l’expression de somme $f$ , une et une seule des quatre fonctions est un infiniment grand en chacun des nombres considérés ci-dessus, à l’exception de $\frac{\pi}{2}$ . En chacun de ces nombres, $f$ est un infiniment grand. L’image par $f$ de chacun des six intervalles ouverts n’ayant pas $\frac{\pi}{2}$ pour borne est donc $]-\infty,+\infty[$ et $(E)$ admet exactement une solution dans chacun de ces intervalles d’après le théorème des valeurs intermédiaires. Ceci porte le total à $6+2=8$ solutions. En $\frac{\pi}{2}^-$ , $\tan x$ et $\tan(3x)$ tendent vers $+\infty$ tandis que $\tan(2x)$ et $\tan(4x)$ tendent vers $0$ . $f$ tend donc vers $+\infty$ en $\frac{\pi}{2}^-$ , et de même $f$ tend vers $-\infty$ en $\frac{\pi}{2}^+$ . L’image par $f$ de chacun des deux derniers intervalles est donc encore une fois $]-\infty,+\infty[$ . Finalement,

$(E)\;\text{admet exactement dix solutions dans}\;[0,\pi].$

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