Soit $\alpha\in\left]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ . $\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=e^{2i\alpha}$ . Donc,

$\begin{align*} \left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^3=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha} &\Leftrightarrow \exists k\in\{-1,0,1\}/\;\frac{1+iz}{1-iz}=e^{i(\frac{2\alpha}{3}+\frac{2k\pi}{3})}=\omega_k \\ &\Leftrightarrow \exists k\in\{-1,0,1\}/\;i(\omega_k+1)z=\omega_k-1. \end{align*}$ Maintenant, pour $k\in\{-1,0,1\}$ ,

$\omega_k=-1\Leftrightarrow\frac{2\alpha}{3}+\frac{2k\pi}{3}\in\pi+2\pi\Zz\Leftrightarrow\alpha\in-k\pi+\frac{3\pi}{2}+3\pi\Zz,$ ce qui est exclu pour $\alpha\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ . Donc,

$\begin{align*} \left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^3=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}&\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\frac{\omega_k-1}{i(\omega_k+1)}\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\frac{e^{i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}}{e^{i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}} \frac{e^{i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}-e^{-i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}}{i(e^{i(\frac{\alpha}{3} +\frac{k\pi}{3})}+e^{-i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})})}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\frac{2i\sin(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}{i(2\cos(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3}))}\Leftrightarrow \exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\tan(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3}) \end{align*}$

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