Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans \(\R\).
1
Montrer que les quatre fonctions définies par \[\begin{aligned} &&x_1(t) = \cos t \cosh t, \\ &&x_2(t) = \sin t \cosh t, \\ &&x_3(t) = \cos t \sinh t, \\ &&x_4(t) =\sin t \sinh t\end{aligned}\] appartiennent à \(E\) et sont linéairement indépendantes.
2
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par ces quatres vecteurs, et \(u\) l’endomorphisme de \(E\) défini par \(u(f) = f'\). Montrer que \(F\) est stable par \(u\) et déterminer la matrice \(M\) de \(u\) dans la bae \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) de \(F\).
3
Calculer \(M^n\).