exo7 2447

Montrer que les quatre fonctions définies par $$\begin{aligned} &&x_1(t) = \cos t \cosh t, \\ &&x_2(t) = \sin t \cosh t, \\ &&x_3(t) = \cos t \sinh t, \\ &&x_4(t) =\sin t \sinh t \end{aligned}$$ appartiennent à $E$ et sont linéairement indépendantes.

Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par ces quatres vecteurs, et $u$ l’endomorphisme de $E$ défini par $u(f) = f'$. Montrer que $F$ est stable par $u$ et déterminer la matrice $M$ de $u$ dans la bae $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ de $F$.

Calculer $M^n$.