1
Soient \(a,b > 0\). Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\).
2
Montrer les inégalités suivantes (\(b \geqslant a > 0\)) : \[a \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant b \qquad \text{et} \qquad a \leqslant \sqrt{ab} \leqslant b.\]
3
Soient \(u_0\) et \(v_0\) des réels strictement positifs avec \(u_0 < v_0\). On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) de la façon suivante : \[u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n} \quad \text{et}\quad v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}.\]
4
Montrer que \(u_n \leqslant v_n\) quel que soit \(n\in\Nn\).
5
Montrer que \((v_n)\) est une suite décroissante.
6
Montrer que \((u_n)\) est croissante En déduire que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et quelles ont même limite.