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Soient $a,b > 0$. Montrer que $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$.

Montrer les inégalités suivantes ($b \geqslant a > 0$) : $$a \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant b \qquad \text{et} \qquad a \leqslant \sqrt{ab} \leqslant b.$$

Soient $u_0$ et $v_0$ des réels strictement positifs avec $u_0 < v_0$. On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de la façon suivante : $$u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n} \quad \text{et}\quad v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}.$$

Montrer que $u_n \leqslant v_n$ quel que soit $n\in\Nn$.

Montrer que $(v_n)$ est une suite décroissante.

Montrer que $(u_n)$ est croissante En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes et quelles ont même limite.