\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de \(D\) dans \(\Rr\) définie par \(f(z)=\vert \sin z\vert .\)
1
Pour quelle raison \(f\) est-elle bornée sur \(D\) ? On note \(\displaystyle{ M=\sup_{z\in D}f(z)}\) et \(\displaystyle{m=\inf_{z\in D}f(z)}.\) Est-ce que \(M\) et \(m\) sont atteints ? Donner la valeur de \(m\).
2
Soit \(z= x+iy\in \Cc , x, y \in \Rr.\) Montrer que \(\vert \sin z\vert ^2= \frac{1}{2}(\ch 2y-\cos 2x).\) (On rappelle que \(\sin z =\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}\) et \(\ch y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.\))
3
En déduire que \(M\) est atteint en un point de \(S\).
4
Montrer que \(\displaystyle{M=\frac{e^2-1}{2e}}\).