Soit \(f\) une fonction réelle de classe \({\cal C}^2\) sur un ouvert \(\Omega\) de \(\R^2\).
Rappeler une condition nécessaire pour que \(f\) présente un extremum local en \((x_0,y_0)\).
Dans la suite de l’exercice, \({\bf a}=(x_0, y_0)\) vérifie cette condition, c’est-à-dire est un point critique de \(f\). On pose \[A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}({\bf a}),\quad B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}({\bf a}),\quad C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}({\bf a}),\] \[Q(x,y)=A x^2+2Bxy+Cy^2, \quad \Delta=B^2-AC,\] \[R(t)=At^2+2Bt+C,\quad S(t)=Ct^2+2Bt+A.\]
On suppose \(\Delta<0\) et \(A (\mbox{ou }C) >0\).
Montrer que \(\forall t\in \R,\) \(R(t)\geq \delta\) et \(S(t)\geq \delta\) pour un certain \(\delta>0\).
On pose \(x=r \cos \theta\), \(y=r \sin \theta\), avec \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\), et on suppose que \(\sin \theta. \cos \theta \neq 0\). Montrer successivement : \[\begin {array}{l} \displaystyle Q(x,y) \geq r^2 \delta \sin^2 \theta,\\ Q(x,y) \geq r^2 \delta \cos^2 \theta,\\ Q(x,y) \geq \frac{r^2}{2} \delta.\end{array}\] En déduire que \[\forall (x,y) \quad Q(x,y) \geq \frac{r^2}{2} \mbox{Inf}(\delta, 2A, 2C).\]
Montrer que \({\bf a}\) est un point de minimum local strict de \(f\). On écrira pour cela la formule de Taylor-Young pour \(f\) en ce point.